2014届高三数学(理)一轮总复习：第二篇 函数、导数及其应用 第11节导数在研究函数中的应用 Word版含解析

第节 导数在研究函数中的应用

【选题明细表】

知识点、方法 函数的单调性与导数 函数的极值与导数 函数的最值与导数 综合应用

一、选择题

1.(2012厦门市高三上学期期末质检)函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是( D )

(A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,-3)和(1,+∞)

(D)(-3,1)

题号 1、7、10 2、3、5 6、9 4、8、11 解析:y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3), 由y'>0?x2+2x-3<0?-3

∴函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1). 故选D.

2.(2013西安五校联考)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)·ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是( D )

解析:若x=-1为函数f(x)·ex的一个极值点,则易得a=c.因为选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2,则[f(x)ex]'=f'(x)ex+f(x)(ex)'=a(x+1)(x+3)ex,所以x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,满足条件;选项C中,对称轴x=->0,且开口向下,所以a<0,b>0,所以f(-1)=2a-b<0,也满足条件;选项D中,对称轴x=-<-1,且开口向上,所以a>0,b>2a,所以f(-1)=2a-b<0,这与图象矛盾,故选D.

3.(2012年高考大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A ) (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 解析:∵y'=3(x+1)(x-1), ∴当x=-1或x=1时取得极值, 由题意得f(1)=0或f(-1)=0, 即c-2=0或c+2=0, 解得c=2或c=-2.故选A.

4.(2012福建龙岩质检)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f'(x)的图象不可能是( D )

解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f'(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f'(x)的图象不可能是D.

5.(2012年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是( C )

解析:∵f(x)在x=-2处取得极小值, ∴当x<-2时,f(x)单调递减,即f'(x)<0; 当x>-2时,f(x)单调递增,即f'(x)>0. ∴当x<-2时,y=x·f'(x)>0; 当x=-2时,y=x·f'(x)=0; 当-20时,y=x·f'(x)>0, 结合图象知选C.

6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是( A ) (A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15 解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax,

由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4, f'(x)=-3x2+6x,

易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下, 且对称轴为x=1,

∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9. 故f(m)+f'(n)的最小值为-13.故选A. 二、填空题

7.(2013南充市第一次适应性考试)设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6.若x0是方程f(x)-f'(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),则a= .

解析:根据已知f(x)在(0,+∞)上是单调函数,又对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6,得f(x)-log2x必为常数,记为C,即f(x)-log2x=C. 令x=C,f(C)-log2C=C,而f(C)=6,易知C=4, 所以f(x)=4+log2x,f'(x)=

.