吉林省实验中学2017届高三数学模拟试卷理科5 含解析 精品

到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（﹣，1）．

化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值﹣． 故答案为：﹣．

14．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是棱BC，CC1，CD的中点，平面α过点B1且与平面EFG平行，则平面α被该正方体外接球所截得的截面圆的面积为为

．

【考点】球的体积和表面积；棱柱的结构特征．

【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，外接球的半径为距离

﹣

=

，可得截面圆的半径，即可得出结论．

，球心到截，球心到截面的

【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，外接球的半径为面的距离

﹣

=

，

∴截面圆的半径为=，

．

∴平面α被该正方体外接球所截得的截面圆的面积为故答案为

．

15．在平面直角坐标系xoy中，点P是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的取值范围为 [2） ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置|AB|的值，即可得到结论．

，

【解答】解：圆心C（1，1），半径R=1，要使AB长度最小，则∠ACB最小，即∠PCB最小，

即PC最小即可，由点到直线的距离公式可得d=则∠PCB=60°，∠ACB=120°，即|AB|=

，

=2

当点P在3x+4y+3=0无限远取值时，∠ACB→180°， 此时|AB|→直径2， 故

≤|AB|＜2，

，2）．

故答案为：[

16．已知数列{an}中，a1=1，a2=3，对任意n∈N*，an+2≤an+3?2n，an+1≥2an+1恒成立，则数列{an}的前n项和Sn= 2n+1﹣n﹣2 ． 【考点】数列递推式．

【分析】an+1≥2an+1，利用递推可得：an+1≥2an+1≥22an﹣1+2+1≥…≥2na1+2n﹣1+2n﹣

2

+…+2+1=2n+1﹣1，即an≥2n﹣1．（n=1时也成立）．由an+2≤an+3?2n，即an+2﹣an

≤3?2n，利用“累加求和”方法结合an+1≥2an+1，可得an≤2n﹣1，因此an=2n﹣1．即可得出．

【解答】解：∵an+1≥2an+1， ∴an+1≥2an+1≥22an

2

﹣

1+2+1

≥23an

﹣

2+2

2

+2+1≥…≥2na1+2n

﹣

1

+2n

﹣

+…+2+1=

=2n+1﹣1，

∴an≥2n﹣1．（n=1时也成立）．

由对任意n∈N*，an+2≤an+3?2n，即an+2﹣an≤3?2n， ∴a3﹣a1≤3×2， a4﹣a2≤3×22， …，

an﹣2﹣an﹣4≤3×2n﹣4 an﹣1﹣an﹣3≤3×2n﹣3， an﹣an﹣2≤3×2n﹣2， an+1﹣an﹣1≤3×2n﹣1．

∴an+1+an≤1+3+3×2+3×22+…+3×2n﹣2+3×2n﹣1=1+3×∵an+1≥2an+1， ∴3an+1≤3×2n﹣2． ∴an≤2n﹣1． ∴2n﹣1≤an≤2n﹣1， ∴an=2n﹣1，

∴数列{an}的前n项和Sn=故答案为：2n+1﹣n﹣2．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0 （1）求角C； （2）若

，求边长a，b的值．

﹣n=2n+1﹣2﹣n．

=3×2n﹣2．（n≥2）．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．

（2）利用三角形面积公式可求ab=4，由余弦定理可得a2+b2=8，联立即可解得a，

b的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0，

∴由正弦定理可得：（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，…2分

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosC， ∵sinA≠0， ∴cosC=，…5分 ∵C∈（0，π） ∴C=

…6分

ab=

，

（2）∵S△ABC=absinC=∴ab=4，①

由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=2abcosC， ∵c=2，C=

，ab=4，…8分

∴a2+b2=8，②…10分

联立①②即可解得：a=2，b=2…12分

18．已知数列{an}的前n项和为（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=log2an，cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）首先利用Sn与an的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣

1；结合已知条件等式推出数列{an}是等比数列，由此求得数列{an}的通项公式；

．

（2）首先结合（1）求得bn=log2an=log22n=n，cn=an?bn=n?2n，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可． 【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为可得an﹣Sn﹣1=2，n≥2， 相减可得an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，

，