2017数学高考分类·理科(2017高考真题+模拟新题)M单元 推理与证明

M单元 推理与证明

M1 合情推理与演绎推理

7．M1[2017·全国卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩

7．D [解析] 由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩，乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩．故选D.

M2 直接证明与间接证明

M3 数学归纳法

22．D1、E7、E8、M3[2017·浙江卷] 已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋

1)(n∈N

*

)．

证明：当n∈N*时， (1)0

211(3)n－1≤xn≤n－2. 22

22．证明：(1)用数学归纳法证明：xn>0. 当n＝1时，x1＝1>0. 假设当n＝k时，xk>0，

那么当n＝k＋1时，若xk＋1≤0，

则00. 因此xn>0(n∈N*)．

所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1. 因此0

xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)． 设函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， 2x2＋xf′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)，

x＋1

函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， xnxn＋1故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．

2

(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 1

所以xn≥n－1. 2由

xnxn＋11111

≥2xn＋1－xn得－≥2－， 2xn＋12xn2

11111－1－

所以－≥2－≥…≥2n1－＝2n2，

xn2xn－12x121故xn≤n－2. 2综上，

M4 单元综合

n－1≤xn≤n－2(n∈N

11

*

22

)．

1年模拟

1. 2017·百校联盟月考大数学家拉普拉斯曾经这样说过：“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比．”事实上数学中许多重要的定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式，观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数V与面数F的和与棱数E相差2，即V＋F－E＝2，于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此．利用上述思想，观察下列等式：

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ……

则其中第7个等式左端和式的最后一个数字、右端的结果分别是( ) A. 17，169 B. 19，169 C. 22，225 D. 25，289

1. B [解析] 等式左端和式的最后一个数字在已知等式中分别为1，4，7，10，据此可推知其为首项是1、公差为3的等差数列，故第7个等式左端和式的最后一个数字为1＋6×3＝19.右端结果在已知的等式中分别为12，32，52，72，即奇数的平方，故第7个等式右端的结果为132＝169.

2. 2017·西安月考观察下列式子： 131151＋2<，1＋2＋2<， 2223311171＋2＋2＋2<. 2344

111

根据以上式子可以猜想：1＋2＋2＋…＋<________. 23201722.

3. 2017·枣庄月考人们把满足a2＋b2＝c2的正整数组(a，b，c)称为勾股数．早在公元前4033

[解析] 观察题中各式，由类比推理可得． 2017

1000多年前，西周初数学家商高就发现勾三、股四、弦五(早于毕达哥拉斯定理五百到六百年)，于是(3，4，5)就是历史上的第一个勾股数．如果我们把满足a2＋b2＋c2＝d2的正整数称为广义勾股数，并记为(a，b，c，d)，则d＝13的广义勾股数有________个．

3. 6 [解析] 因为32＋42＋122＝132，所以满足条件的a，b，c为(3，4，5)，(3，5，4)，(4，3，5)，(4，5，3)，(5，3，4)，(5，4，3)，所以d＝13的广义勾股数有6个．

4. 2017·湖北七校月考意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，那么

222

a21＋a2＋a3＋…＋a2017

是斐波那契数列中的第________项．

a2017

2222222

a2a1＋a2a2a11＋a22＋a31＋a2＋a3＋a4

4. 2018 [解析] 由＝1＝a2，＝2＝a3，＝3＝a4，＝5＝

a1a2a3a4

222

a21＋a2＋a3＋…＋a2017

a5，归纳出＝a2018.

a2017

5．2017·西安一模有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测．甲说：乙或丙拿到标有3的卡片．乙说：甲或丙拿到标有2的卡片．丙说：标有1的卡片在甲手中．丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为________，________，________，________．

5．4 2 1 3 [解析] 通过四个命题的否定为真进行推理，先确定甲，然后确定丙、乙，最后确定丁．