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北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
等腰三角形（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧
相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C；
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(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝
180???A . 2（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三
线合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距
离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
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有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 类型一、等腰三角形中的分类讨论
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形． 举一反三：
【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长?
1?10?5． 2 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应
舍去．
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∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【变式2】在△ABC中，∠A=40°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形． 【答案】40°、70°或100°
提示：分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．
类型二、等腰三角形的操作题
2、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
【思路点拨】根据等腰三角形的判定定理在左图△ABC中的边BC上取一点D，使BD=AD即可；
在右图△ABC中的边AC上取一点D，使BD=CD即可． 【答案与解析】 解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°，∠CAD=40°，
如图（2）所示：在AC上取一点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，
∠BDC=148°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，关键是根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形． 举一反三： 【变式】（2015?温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．
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【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．
类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用
3、（2016春?威海期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE=AF．
【思路点拨】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF． 【答案与解析】 （1）证明：连接BD， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC， ∵∠BAC=120°，
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×
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∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°， ∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD ∵∠EDF=60°， ∴∠BDE=∠ADF， 在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 个．
【答案】4；
提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
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【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角
平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可．
【答案与解析】 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF． 【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE． 举一反三： 【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（ ）
A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算 【答案】A； 提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x；
x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．
类型四、含30°角的直角三角形
5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然 后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边
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等于斜边的一半解答即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°， 即△CAD为等腰三角形， ∴AD=CD=13， 在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°， ∴AB=11AD=×13=6.5(m)． 22【总结升华】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 举一反三：
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=1∠BAC，过点D作DE21DB． 2 【答案】
解：∵DE⊥AB， ∴∠AED=∠BED=90°， ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠3=∠4，又∵DE=DE， ∴△BED≌△AED（ASA）， ∴AD=BD，∠2=∠B， ∵∠BAD=∠2=1∠BAC， 2∴∠1=∠2=∠B， ∴AD=BD， 又∵∠1+∠2+∠B=90°， ∴∠B=∠1=∠2=30°， 在直角三角形ACD中，∠1=30°， ∴CD= 11AD= BD． 22类型五、反证法
6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【答案与解析】
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证明：假设它们所对的边相等；
则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等； 这就与题设两个角不等相矛盾； 因此假设不成立，故原结论成立．
【总结升华】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
举一反三：
【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 .
【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．
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知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于( )． A．30° B．36° C．45° D．54°
2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（ ） A. a，b没有一个为0 B. a，b只有一个为0 C. a，b至多有一个为0 D. a，b两个都为0
3. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB＋CE；
③AD＋DE＋AE＝AB＋AC； ④BF＝CF. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A．顶角的一半 B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半 5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）
A．
cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
二.填空题
7．（2016?通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 ．
9. 等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm,则其余两边长分别为________. 10.（2015春?盐城校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，△ABD为等腰三角形．
11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
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12. 如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，
则∠A的度数为______°．
三.解答题
13. 用反证法证明：一条线段只有一个中点．
14．（2016秋?宜昌期中）一个等腰三角形的三边长分别为x，2x﹣3，4x﹣6，求这个三角形的周长．
15.（2015秋?东台市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q
两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【答案与解析】 一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】设∠A＝x，则由题意∠ADE＝180°－2x，∠EDB＝
x，∠BDC＝∠BCD＝90°－2x，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以x＝45°. 22. 【答案】A；
【解析】由于命题：“a，b至少有一个为0”的反面是：“a，b没有一个为0”，故选A. 3. 【答案】C ；
【解析】①②③正确. 4. 【答案】A；
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【解析】解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高， ∴∠ABC=∠C=180??A 2180??A?A=. 22在Rt△BDC中，∠CBD=90°-∠C=90°-故选A．
5. 【答案】C；
【解析】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED， ∵AE=6cm， ∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC， ∴ED=CE， ∴CE=3cm； 故选：C．
6. 【答案】D;
【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°， ∴AB=6，
∴AP的长不能大于6． 故选D．
二.填空题
7. 【答案】69°或21°； 【解析】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°，
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∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°； ②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°， ∴∠BAC=180°﹣42°=138°， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°． 故答案为：69°或21°．
8. 【答案】a=b；
【解析】a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b. 9. 【答案】7cm，7cm或8cm，6cm；
【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰. 10.【答案】5，6，
；
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，
由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形， 有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；
②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，
即（t﹣3）+4=t， 解得：t=
，
．
2
2
2
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，
11.【答案】40；
【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°. 12.【答案】15°； 【解析】设∠A＝x，∠BED＝∠EBD＝2x，∠CBD＝120°－2x，∠C＝∠BDC＝30°＋x，
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而∠A＋∠C＝60°，所以x＋30°＋x ＝60°，解得x＝15°.
三.解答题 13.【解析】
已知：一条线段AB，M为AB的中点． 求证：线段AB只有一个中点M．
证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边， 则AM＜AN， 又因为AM=AB=AN=AB， 这与AM＜AN矛盾，
所以线段AB只有一个中点M． 14.【解析】
解：①x=2x﹣3，则x=3，
∴4x﹣6=6， ∵3+3=6，
∴3、3、6不能构成三角形； ②x=4x﹣6，则x=2，
∴2x﹣3=1，
∵1、2、2任意两边之和大于第三边， ∴这个三角形的周长为1+2+2=5； ③2x﹣3=4x﹣6，则x=，
∴2x﹣3=0， ∴此三角形不存在．
综上可知：这个三角形的周长为5．
15．【解析】
解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm ∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm． ∵∠C=90°， ∴有勾股定理得PB=2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm； （2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形； 若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm， 所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
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根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm， ∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形； ③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC ∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形． ∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形； （3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴8﹣t+16﹣2t=12， ∴t=4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t﹣8+2t﹣16=12， ∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
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直角三角形----知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用. 【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立
方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：a?c?b，b?c?a， c??a?b??2ab.
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（4）勾股数：满足不定方程x?y?z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达
哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……
② 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
222，2n，n?1（n?1,n是自然数）是直角三角形的三条边长； ③n?1④2n?2n,2n?1,2n?2n?1（n是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤m?n,m?n,2mn （m?n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
22222222
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中
，所以
.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
要点三、勾股定理的逆定理
，所以.
如果三角形的三条边长a，b，c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：
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（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直
角三角形.
要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如c）.
（2） 验证c与a?b是否具有相等关系.若c?a?b，则△ABC是∠C＝90°的
直角三角形；若c?a?b，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：
当a?b?c时，此三角形为钝角三角形；当a?b?c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角
形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三
角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，
书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【典型例题】 类型一、勾股定理
1、（2016春?卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形． 【答案】5或
．
=5，三角形的
222222222222222【解析】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长=
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边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长=
=
，三角形的边长分别为3，
，，
亦能构成三角形；
综合以上两种情况，第三边的长应为5或故答案为5或
．
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
2、（2015春?黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解． 【答案与解析】
解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
△ADE中，DE=AE+AD，即x=（10﹣x）+16． ∴x=
（cm）．
cm.
2
2
2
2
2
答：DE的长为
【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．
类型二、勾股定理的逆定理
3、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
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22222在Rt△ABD中，BD?AB?AD?2?(23)?16．
∴ BD＝4， ∴ AB?1BD，可知∠ADB＝30°， 222222在△BDC中，BD?CD?16?3?25，BC?5?25， ∴ BD?CD?BC，∴ ∠BDC＝90°， ∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．
【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：
222222【变式1】△ABC三边a，b，c满足a?b?c?338?10a?24b?26c，则△ABC是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 【答案】D；
提示：由题意?a?5???b?12???c?13??0，a?5，b?12，c?13，
因为a?b?c，所以△ABC为直角三角形.
【变式2】（2015春?厦门校级期末）在四边形ABCD中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2∠ADC的度数．
，CD=4．求
222222
【答案】
解：连接BD，
∵AB=AD=2，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=2，∠ADB=60°，
∵BC=2，CD=4，
22222
则BD+CD=2+4=20，BC=（2
222
∴BD+CD=BC， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=150°．
）=20，
2
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类型三、勾股定理、逆定理的实际应用
4、如图所示，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30m，另一只猴子从B→D→A也共走了30m，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决． 【答案与解析】
解：设树高CD为x，则BD＝x－10，AD＝30－(x－10)＝40－x，
在Rt△ACD中，20?x?(40?x)，
解得：x＝15．
答：这棵树高15m．
【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解． 举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
222
【答案】
解：如图②所示，由题意可得： AA??12，A?B?1?2??3?9 2222 在Rt△AA′B中，根据勾股定理得： AB?AA??A?B?12?9?225 则AB＝15．
所以需要爬行的最短路程是15cm．
5、（2015春?武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”
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号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案与解析】
解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；
1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里， 因为AB=20海里，
所以AB=OB+OA，即20=16+12， 所以△OAB是直角三角形， 又因为∠1=45°， 所以∠2=45°，
故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．
2
2
2
2
2
2
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
类型四、原命题与逆命题
6、下列命题中，逆命题错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分
B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形
C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C； 【解析】
解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是
真命题；
B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题； C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；
D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题； 故选C．
【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握． 举一反三：
【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．对顶角相等
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B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等 C．等腰三角形两底角相等 D．两个全等三角形的对应角相等
【答案】C；
解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，
B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误， C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确， D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误， 故选C．
类型五、直角三角形全等的判定——“HL”
7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． 求证：AD=AE．
【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．
【答案与解析】
证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°， ∵AE⊥EB，
∴∠E=∠ADB=90°， ∵AB平分∠DAE， ∴∠EAB=∠DAB； 在△ADB与△AEB中，
??E??ADB?90????EAB??DAB ?AB?AB?∴△ADB≌△AEB（AAS）， ∴AD=AE．
【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，
垂足分别为E、F．
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（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
【答案与解析】
（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠EBA， 在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△ABE≌△CAF． ∴EA=FC，BE=AF． ∴EF=EA+AF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠ABE， 在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△ABE≌△CAF． ∴EA=FC=3，BE=AF=10． ∴EF=AF-CF=10-3=7．
【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
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直角三角形——巩固练习（提高）
【巩固练习】
一.选择题
1．若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为( )
A.5
B.7 C.5或7 D.7
2．（2015?诏安县校级模拟）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5 C．
D．a=15，b=8，c=17
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
4. a,b,c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，下列说法：
①a,b,c能组成一个三角形 ②a,b,c能组成三角形 ③c?h,a?b,h能组成直角三角形 ④
222111,,能组成直角三角形 abh其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定
6. 下列定理中，有逆定理的是（ ）
A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等
C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角形中，等边对等角
二.填空题
7．如图，在5?5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C共 个．
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8．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，
3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1?S2?S3?S4?______．
9.（2016春?普宁市期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 ．
10.（2015春?滑县期末）如果三角形的三边a，b，c满足a+b+c+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则 ∠BAD＝_______.
2
2
2
12.在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是 ．
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三.解答题
13.（2016春?黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a+b+c+338=10a+24b+26c，
试判别这个三角形的形状．
14.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点
分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
2
2
2
15.（2015春?建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为 ； （2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为 ； （3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．
【答案与解析】
一.选择题 1.【答案】C；
【解析】x可能是直角边，也可能是斜边.
2.【答案】C；
222
【解析】解：A、满足勾股定理：7+24=25，故A选项不符合题意；
222
B、满足勾股定理：1.5+2=2.5，故B选项不符合题意； C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意； D、满足勾股定理：15+8=17，故D选项不符合题意． 故选：C．
3.【答案】C；
2
2
2
15?20?25. 【解析】7?24?25，4.【答案】C；
【解析】因为a2?b2?c2，两边之和等于第三边，故a,b,c不能组成一个三角形，①
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错误；因为a?b?c，所以a,b,c能组成三角形，②正确；因为ab?ch，所以
222a2?2ab?b2?h2?c2?2ch?h2，即?a?b??h??c?h?，③正确；因为
22c2c2?1??1?a?b?1?，所以④正确.
???????????a2b2a2b2c2h2?h??a??b?2225.【答案】A；
【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D
作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可
6. 【答案】D.
二.填空题
7. 【答案】8；
【解析】如图所示：有8个点满足要求.
8．【答案】4；
【解析】S1?S2?1S3?S4?3，故S1?S2?S3?S4?4. 9．【答案】AC=DE； 【解析】解：AC=DE，
理由是：∵AB⊥DC， ∴∠ABC=∠DBE=90°， 在Rt△ABC和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
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故答案为：AC=DE．
10.【答案】直角；
【解析】解：∵a+b+c+50=6a+8b+10c
222
∴a+b+c﹣6a﹣8b﹣10c+50=0
222
即a﹣6a+9+b﹣8b+16+c﹣10c+25=0
222
∴（a﹣3）+（b﹣4）+（c﹣5）=0 ∴a=3，b=4，c=5
∵a+b=c
∴三角形为直角三角形．
11.【答案】45°；
【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形. 12.【答案】①②．
【解析】解：连接AP，
在Rt△ASP和Rt△ARP中， PR=PS，PA=PA，
所以Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以①AS=AR正确； 因为AQ=PQ，
所以∠QAP=∠QPA，
又因为Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以∠PAR=∠PAQ， 于是∠RAP=∠QPA， 所以②PQ∥AR正确；
③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为：①②．
2
2
22
2
2
三.解答题 13.【解析】
解：由a+b+c+338=10a+24b+26c，
得：（a﹣10a+25）+（b﹣24b+144）+（c﹣26c+169）=0， 即：（a﹣5）+（b﹣12）+（c﹣13）=0，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
由非负数的性质可得：，
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解得
2
2
，
2
2
2
2
∵5+12=169=13，即a+b=c， ∴∠C=90°，
即三角形ABC为直角三角形． 14.【解析】
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时， ∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC， 在Rt△ABC与Rt△QPA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL）， 即AP=AC=10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． 15.【解析】 解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC=
=6（m），
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故AD=
=4
（m），
+10=（20+4
）m；
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4故答案为：（20+4）m；
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（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC+AC=AD，
222
即x+8=（6+x）， 解得；x=， ∵AC=8m，BC=6m， ∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=
（m）．
2
2
2
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
线段的垂直平分线——巩固练习（提高）
【巩固练习】
一．选择题
1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ）
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A、6
B、4
C、6
D、4
2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A、6 B、5 C、4 D、3
3.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； （乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE 5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
D、∠CAE=∠B
A、AB垂直平分CD
B、CD垂直平分AB
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C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB
6.（2015秋?陆丰市校级期中）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（ ）
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
二．填空题 7．（2016?长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ．
8.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为 _________ ．
9.（2015?西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______________．
10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_____ 度．
11.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 _________ ．
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12.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为 _________ cm．
三．解答题：
13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
222
（2）求证：BG-GE=EA．
14.（2015秋?扬州校级月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE=AE+BC．
15.（2016秋?农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
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【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】C；
【解析】∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D， ∴EA=EB， ∴∠A=∠ABE， ∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC， 而AE+EC=AC=9， ∴AE=6． 故选C．
2．【答案】B;
【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA，
而已知线段PA=5， ∴PB=5．
3.【答案】D；
【解析】∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E， ∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE， ∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE， ∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE， ∴AD=DC=EB=CE．
4【答案】B；
【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；
B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；
C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；
D、根据C的证明过程．故该选项正确．
5.【答案】A；
【解析】∵AC=AD，BC=BD，
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∴点A，B在线段CD的垂直平分线上． ∴AB垂直平分CD．
6.【答案】D；
【解析】解：∵PB=PC，
∴P在线段BC的垂直平分线上， 故选D．
二．填空题 7.【答案】13；
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13， 故答案为：13．
8.【答案】6；
【解析】∵ED垂直平分BC，
∴BE=CE，∠EDB=90°， ∵∠B=30°，ED=3， ∴BE=2DE=6， ∴CE=6． 9.【答案】
；
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD， 设CD=x，则BD=4﹣x， 在Rt△BCD中，
CD=BC+BD，即x=3+（4﹣x）， 解得x=
．
．
2
2
2
2
2
2
故答案为：
10.【答案】60；
【解析】由AB=AC，∠BAC=120°，
可得∠B=30°，
因为点D是AB的垂直平分线上的点， 所以AD=BD，
因而∠BAD=∠B=30°， 从而∠ADC=60度．
11.【答案】8；
【解析】∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，
∴AD=BD，AE=CE
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8． △ADE的周长等于8．
12.【答案】13；
【解析】∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足
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∴AD=DC，AC=2AE=6， ∵△ABC的周长为19， ∴AB+BC=13(cm).
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)．
三．解答题 13.【解析】
证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°， ∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC ∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°， ∴∠HBD=∠ACD， ∵在△DBH和△DCA中
??BDH??CDA?, ?BD?CD??HBD??ACD?∴△DBH≌△DCA（ASA）， ∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB（∠CDB=90°）， ∴∠BCD=45°=∠ABC， ∴DB=CD，
∵F为BC的中点， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴EC=EA，
222
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG-GE=CE， ∵CE=AE，BG=CG，
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∴BG-GE=EA．
14. 【解析】 证明：连接CD，
∵AC=BC，AD=BD，
∴C在AB的垂直平分线上，D在AB的垂直平分线上， ∴CD是AB的垂直平分线， ∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB=45°， ∵DE⊥AC，
∴∠CDE=∠ACD=45°， ∴CE=DE，
∴DE=AE+AC=AE+BC．
2
2
2
15. 【解析】
解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB=15cm； （2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， ∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， ∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， ∵AM=CM，BN=CN， ∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
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北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
线段的垂直平分线---知识讲解(提高)
【学习目标】
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理. 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】
要点一、线段的垂直平分线 1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于
1AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 2 （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点诠释：
(1)作弧时的半径必须大于
1AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． 2(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理
线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
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要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:
1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等. 要点五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”. 【典型例题】
类型一、线段的垂直平分线定理
1.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A、7 B、14 C、17 D、20
【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ ABC的周长． 【答案】C；
【解析】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD． ∴MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10， ∵AB=7，
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∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用． 举一反三：
【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明． 已知：线段AB，要作线段AB的垂直平分线． 作法：（1）分别以A、B为圆心，大于 1AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C、D； 2（2）作直线CD． 直线CD 即为所求作的线段AB的垂直平分线． 根据上述作法和图形，先填空，再证明． 已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=___=___． 求证：CD⊥AB，CD平分AB． 证明： 【答案】 已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD． 求证：CD⊥AB，CD平分AB． 证明：CD与AB交于点E． ∵在△ACD和△BCD中， ?AC?BC? ?AD?BD, ?CD?CD?∴△ACD≌△BCD（SSS）． ∴∠1=∠2． ∵AC=BC， ∴△ACB是等腰三角形． ∴CE⊥AB，AE=BE． 即 CD⊥AB，CD平分AB． 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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2.（2015秋?和县期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连结OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．
【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． 【答案与解析】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA=EC，
BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm； （2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA=OC，
∵OB+OC+BC=16cm， ∴OA=0B=OC=5cm； （3）∵∠BAC=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°， ∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°．
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【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．
【答案】∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴BE+EC=AE+EC=AC．
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23． 要点二、线段的垂直平分线的逆定理
3.（2016春?鄄城县期中）如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC．求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．
【答案与解析】证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB=AE， ∴AB+BD=AE+DE， 又∵AB+BD=DC， ∴DC=AE+DE，
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∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键．
类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用
4.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心． 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=1AB，求∠APB的2度数． 探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长． 【思路点拨】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数； 探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解． 【答案与解析】 应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD为等边三角形的高， ∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°， ∴PD= 33DB=AB， 36与已知PD=1AB矛盾，∴PB≠PC， 21AB，得PD=BD， 2②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC， ③若PA=PB，由PD=∴∠APD=45°， 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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故∠APB=90°； 探究：解：∵BC=5，AB=3， ?AC?BC2?AB2?52?32?4 ①若PB=PC，设PA=x，则x+3=（4-x）， ∴x=22277，即PA=， 88 ②若PA=PC，则PA=2， ③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能． 故PA=2或7． 8
【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论． 举一反三：
【变式】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________.
【答案】40°；
解：∠B=x，∠c=y，则，∠B+∠C=180°-∠BAC，即x+y=70°①，
∵DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线， ∴BE=AE，AG=CG，
∴∠BAE=∠B=x，∠CAG=∠C=y， ∵∠BAE+∠EAG+∠GAC=∠BAC， ∴x+y+∠EAG=110°②，
联立①②得，∠EAG=110°-70°=40°． 故答案为：40°． 要点四、尺规作图
5.如图，每个格的单位长度是1，△ABC的外心坐标是 (_____________).
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【思路点拨】可分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G即为△ABC的外心，继而可求得答案． 【答案与解析】
分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G， 则点G即为△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（-2，-1）． 故答案为：（-2，-1）．
【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 举一反三：
【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）
【答案】解：如图，点P就是要找的点.
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角的平分线的性质（提高）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法． 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于
1DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 2 （3）画射线OC.
射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
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三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为P1，旁心为P2,P3,P4，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质及判定
1、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP． （1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
【思路点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可； （2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可． 【答案与解析】 证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P， ∴PQ=PT，PS=PT， ∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
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（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM， ∴∠DAE=∠CAE， ∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°， 在△AED和△AEC中
∴△AED≌△AEC， ∴CE=ED．
【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
举一反三：
【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且
DB＝DC. 求证：BE＝CF.
【答案】
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线， ∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90° 在Rt△BDE与Rt△CDF中，??DB?DC，
DE?DF? ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL） ∴BE＝CF
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2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面
积分别为50和39，则△EDF的面积为：（ ）
A.11 B.5.5 C.7 D.3.5
【答案】 B；
【解析】
解： 过D点作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF＝DH
在Rt△EDF和Rt△GDH中 DE＝DG，DF＝DH ∴Rt△EDF≌Rt△GDH
同理可证Rt△ADF和Rt△ADH
∴S△AED?S△EDF=S△ADG?S△GDH ∴2S△EDF=S△ADG?S△AED＝50－39＝11，
∴△EDF的面积为5.5 【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积来表示△EDF面积.
3、（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【思路点拨】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离. 【答案与解析】
解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
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∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选C． 【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
类型二、角的平分线的性质综合应用
4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.
【思路点拨】在BA的延长线上取AD＝AC，证△PAD≌△PAC，从而将四条线段转化到同一个△PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】
证明：①当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连接PD.
∵P为△ABC的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2 ∵在△PAD和△PAC中
?PA?PA?
??1??2 ?AD?AC?
∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC
∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD ∴PB＋PC＞AB＋AC.
②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC. 综上，PB＋PC≥AB＋AC.
【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中. 举一反三：
【变式】如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD=AC．
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【答案】 证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC， ∴OB=OE，
∵点O为BD的中点， ∴OB=OD， ∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°， ∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE， ∵AC=AE+CE， ∴AB+CD=AC．
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知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分
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∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, (2)AE＝CE (3)OA＝OB＝OD＝OE (4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.（2016?招远市模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB＝（ ）
A.50° B.45° C.40° D .35°
4. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①② D.①②③
5.（2015春?成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
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A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
6．?ABC中，AD是?BAC的平分线，且AB?AC?CD.若?BAC?60，则 ?ABC
的大小为 （ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
?????
二.填空题
7. 在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为 .
8. 如图，已知在△ABC中，?A?90?,AB?AC,CD平分?ACB，DE?BC于E，若
BC?15cm，则△DEB的周长为 cm．
9.（2016?邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
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10.（2015春?海门市期末）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为 ．
11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分
∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，若∠
CBD＝20°，则∠CED＝__________.
三.解答题
13．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN
⊥BD于N.
求证：CM＝CN．
14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180° 求证：2AE=AB+AD．
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15．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 【解析】（1）（2）（4）是正确的. 2.【答案】B；
【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故选：B．
3.【答案】B；
【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并
且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.
4.【答案】C；
【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ
＝∠BAP，所以②正确.
5.【答案】D；
【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选D．
6.【答案】A；
【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，
2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.
二.填空题
7. 【答案】1；
【解析】由题意设DE＝CE＝x，BC＝BD＝AD＝3x，AE＝2x，AC ＝3x＝3，x＝1. 8. 【答案】15；
【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15cm. 9. 【答案】30
【解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
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∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3， ∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF
=×（AB+BC+AC）×3 =
10.【答案】；
【解析】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，
20×3=30
∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF，
∵AB=4，△ABD的面积为3，
∴S△ABD=AB?DE=×4×DE=3，解得DE=； ∴DF=， ∵AC=2，
∴S△ACD=AC?DF=×2×=． 故答案为：．
11.【答案】35°；
【解析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB
＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°. 12.【答案】10°；
【解析】考虑△BDC中， EC 是∠C的平分线， EB是∠B的外角平分线， 所以E是△BDC
的一个旁心， 于是ED平分∠BDA. ∠CED ＝ ∠ADE － ∠DCE ＝
1∠ADB － 2111∠DCB ＝∠DBC ＝ ×20°＝ 10°. 222三.解答题
13.【解析】
证明：∵OD平分∠POQ
∴∠AOD＝∠BOD 在△AOD与△BOD中
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?OA?OB???AOD??BOD ?OD?OD?∴△AOD≌△BOD（SAS） ∴∠ADO＝∠BDO
又∵CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.
∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 14.【解析】
证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC=∠EAC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠DFC=∠CEB=90°， ∴△AFC≌△AEC， ∴AF=AE，CF=CE， ∵∠ADC+∠B=180° ∴∠FDC=∠EBC， ∴△FDC≌△EBC ∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE ∴2AE=AB+AD
15.【解析】DE＝DF.
证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DM＝DN
∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF ＝180° 又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF ＝180° ∴∠1＝∠4
在Rt△DEM与Rt△DFN中
??1??4? ?DM?DN
??EMD??FND? ∴Rt△DEM≌Rt△DFN （ASA） ∴DE＝DF
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知识点梳理及重点题型巩固练习
《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)
【学习目标】
1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.
2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题. 3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、等腰三角形
1.三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条
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边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：
等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是
332a，面积是a；含有2430°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时
也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形 1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.
3.直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 要点诠释：
①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.
②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于
1AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；2作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 要点诠释：
①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理
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性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释：
①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】
类型一、能证明它们么
1. 如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．
【思路点拨】由条件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因为对顶角∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD． 【答案与解析】猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB，
又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴AC=CD，CE=CB， ∵在△ACE与△DCB中，
?AC?DC???ACE??DCB,?EC?BC?∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=BD， ∠CAE=∠CDB； ∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE⊥BD．
故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系.
【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点． 举一反三：
【变式】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠
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A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），
∵△ABC≌△DBE（已知）， ∴BC=BE，AC=DE． ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴∠BCF=∠BEF=90°． ∵BF=BF，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE． ∴CF=EF．
又∵AF+CF=AC， ∴AF+EF=DE．
（2）解：画出正确图形如图2.
（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；
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（3）证明：连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形， 在Rt△BCF和Rt△BEF中，
?BC?BE, ??BF?BF∴△BCF≌△BEF， ∴CF=EF； ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．
类型二、直角三角形
2. 下列说法正确的说法个数是（ ） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可； 【答案】C.
【解析】A、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；
B、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故
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本选项正确；
D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确； 所以，正确的说法个数是3个． 故选C．
【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
3.（2016?南开区一模）问题背景： 在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
、
、
，求这个三角形的面积．小辉同
学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ； （2）若△ABC三边的长分别为
、
、2
（m＞0，n＞0，且m
≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为 ． 【思路点拨】（1）直角三角形的斜边；
是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；
是直角边长为1，3的
是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的
面积减去三个直角三角形的面积；
（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得． 【答案与解析】
解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=； （2）构造△ABC如图所示，
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S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn． 故答案为：（1）3；（2）5mn．
【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
类型三、线段垂直平分线
4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．
（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；
（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．
【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证； （2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题． 【答案与解析】 （1）证明：连接PD、PE、QD、QE． ∵CE⊥AB，P是BF的中点， ∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线， ∴PE=1BF． 2又∵AD⊥BC， ∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线， ∴PD=1BF=PE， 2资料来源于网络 仅供免费交流使用
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∴点P在线段DE的垂直平分线上． 同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线， ∴QD=1AC=QE， 2∴点Q也在线段DE的垂直平分线上． ∴直线PQ垂直平分线段DE． （2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立． 如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°． 原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线 交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE． 求证：直线PQ垂直且平分线段DE． 证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线， ∴PD=11BF，PE=BF， 22∴PD=PE， 点P在线段DE的垂直平分线上． 同理可证QD=QE， ∴点Q在线段DE的垂直平分线上． ∴直线PQ垂直平分线段DE． 【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大． 举一反三：
【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度． （1）求∠M的度数；
（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小； （3）你发现了怎样的规律？试证明； （4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．
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【答案】 （1）∵∠B=1（180°-∠A）=70° 2∴∠M=20° （2）同理得∠M=40° （3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半， 证明：设∠A=α， 1（180°-α） 211∠M=90°-（180°-α）=α. 22则有∠B=（4）不成立. 此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半． 类型四、角平分线 5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．
【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM． 【答案与解析】
解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．
∵∠A=60°，
∴∠ACB+∠ABC=120°， ∵CD，BE是角平分线，
∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°， ∴∠CGB=∠EGD=120°， ∵G是∠ACB平分线上一点，
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∴GN=GF， 同理，GF=GM， ∴GN=GM，
∴AG是∠CAB的平分线， ∴∠GAM=∠GAN=30°，
∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°， ∴∠EGD=∠NGM=120°， ∴∠EGN=∠DGM， 又∵GN=GM，
∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）， ∴GE=GD．
【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键． 举一反三：
【变式】（2015春?澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 证明：（1）CF=EB． （2）AB=AF+2EB．
【答案】 证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）． ∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
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∴△ADC≌△ADE（HL）， ∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
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《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）
【巩固练习】
一.选择题
1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）
A． 3米 B． 4米 C． 5米 D． 6米
2.（2016秋?仙游县期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ） A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：
(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的是（ ） A、(1)，(3) B、(2)，(3) C、(3)，(4) D、(1)，(2)，(4)
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4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）
A、4cm B、6cm C、8 cm D、10cm
5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ） A、30° B、36° C、45° D、70°
6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（ ）
A、BB′⊥AC B、BC=B′C C、∠ACB=∠ACB′ D、∠ABC=∠AB′C
7.（2015?永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等
腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A、三边中线的交点 B、三条角平分线的交点 C、三边上高的交点 D、三边中垂线的交点 二、填空题
9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．
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35
10.用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设“ ”
11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.
12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.
13. 已知实数x，y满足
，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长
是___________.
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．
15.（2015?辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线
段BD的长等于 ．
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16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB.
三、解答题
17.（2016秋?江都区校级期中）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
18. 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点
2
D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm，求折叠△AED的面积．
19. 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E,直线BM、CN交与F点.
(1)求证：AN=BM；(2)求证： △CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）
20.阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.
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证明：在△AEB和△AEC中，
?EB?EC???ABE??ACE ?AE?AE?∴△AEB≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米， 计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D． 2. 【答案】A；
【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三
角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°． 故选：A．
3. 【答案】D；
【解析】解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°
Rt△EAD与Rt△ABC
∵D为AB中点，∴AB=2AD 又EA=AB=2BC ∴AD=BC
∴Rt△EAD≌Rt△ABC
∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD
又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90° ∴∠EFA=180°-90°=90°，即DE⊥AC， ∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90° ∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE ∴∠EAF=∠ADE,故选D．
4. 【答案】B；
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【解析】∵AD平分∠CAB交BC于点D ∴CAD=∠EAD ∵E⊥AB
∴∠AED=∠C=90 ∵AD=AD
∴△ACD≌△AED．（AAS） ∴AC=AE，CD=DE ∵∠C=90°，AC=BC ∴∠B=45° ∴DE=CE
∵AC=BC，AB=6cm，
62AB2?32， ∴2BC=AB，即BC= = 2222∴BD=AB-AE=AB-AC=6-32， ∴BC+BE= 32 +6- 32 =6(cm)， ∵△DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6（cm）． 另法：证明三角形全等后， ∴AC=AE，CD=DE． ∵AC=BC， ∴BC=AE． ∴△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6(cm)． 故选B．
5. 【答案】B；
【解析】解：∵AB=AC，AD=BD=BC， ∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB， 设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，
∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x° ∵∠A+∠C+∠ABC=180°， ∴x+2x+2x=180， ∴x=36，
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 6. 【答案】B；
【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等； 添加B选项中条件无法判定两个三角形全等； 添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等； 添加D选项以后是ASA证明三角形全等．
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故选B． 7. 【答案】D；
【解析】解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外）， ∴以OA为腰的等腰三角形有3个； 作OA的垂直平分线，交x轴于一点， ∴以OA为底的等腰三角形有1个， 综上所述，符合条件的点P共有4个， 故选：D．
8. 【答案】D；
【解析】三角形三边中垂线的运用. 二.填空题
9. 【答案】125°；
【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°， ∴∠C=35°，∠A=110°， ∵DE⊥BC，
∴∠ADE=360°-110°-35°-90°=125°， ∵125°＞110°＞90°＞35°，
∴四边形中，最大角的度数为：125°．故选C．
10.【答案】三角形的三个内角都小于60°； 【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立．
11.【答案】6；
【解析】∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
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∴AB= AB2?BC2=10， ∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C′处， ∴∠BC′D=∠C=90°，BC′=BC=6，DC′=DC， ∴AC′=AB-BC′=10-6=4， ∵S△ADB+S△DBC=S△ABC， ∴111 ?AB?DC′+ BC?DC= AC?BC， 222∴10DC′+6DC′=6×8， ∴DC′=3， ∴S△ADC′= 11 DC′?AC′= ×4×3=6． 2212.【答案】13；
【解析】将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，BD=2+3=5，AD=12，由勾
股定理得：AB= AD2?BD2=13． 13.【答案】20；
【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0， 解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长=4+8+8=20， 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． 14.【答案】7；
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90° ∴∠EAC=∠B ∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm． 故填7．
15.【答案】8；
【解析】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB=2DE=2×5=10， ∴在Rt△ABD中，
BD=
=
=8．
故答案为：8．
16.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE;
【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
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∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°-∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE； 根据ASA添加AE=CE． 可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=BE或AE=CE． 三.解答题 17.【解析】
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°． 在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）． ∴DF=DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
18.【解析】
解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．
由S△ABF=BF?AB=30，AB=5， 得BF=12．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
．
所以AD=13．
设DE=x，则EC=5﹣x，EF=x，FC=1，
222
在Rt△ECF中，EC+FC=EF，
222
即（5﹣x）+1=x． 解得故
19.【解析】
（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，
．
．
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∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°， ∴∠ACN=∠MCB=120°， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=MB．
（2）证明：由（1）得△ACN≌△MCB， ∴∠1=∠2，
又∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°，CN=CM
∴△ECN≌△FCB， ∴EC=FC．
∴△ECF是等边三角形.
N
1M
FE
2AB
C
图1
（3）AN=MB成立，△ECF是等边三角形不成立.
N
FCB
E M A 图220.【解析】
解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在△BEC中， ∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB 又∵∠ABE=∠ACE ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC．
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC ∴△AEB≌△AEC（SSS） ∴∠BAE=∠CAE．
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北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
不等式及其性质（提高）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义：
符号 “≠” “＜” “＞” “≤” “≥” 读法 读作“不等于” 读作“小于” 读作“大于” 读作“小于或等于” 读作“大于或等于” 意义 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 表示左边的量比右边的量小 表示左边的量比右边的量大 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，
x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
ab?)． ccab?)． cc
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或
要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
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(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).
【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的． 【答案】D. 【解析】
解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即
32216克．故A选项错；两个糖果的重量小于?10克故B选项错；
33316641三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于?4??21克
333每一个糖果的重量小于
故D选项对．
【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式． 举一反三：
【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.
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A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■ 【答案】C.
类型二、不等式的基本性质 则2.下面四个命题：（1）ac?bc,则a?b；（2）a?b，则ac?bc；（3）若a?b，22b（4）若a?0，则b?a?b.其中正确的个数是（ ）. ?1；aA. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B.
【解析】(1)由ac?bc得c?0，因为c>0,所以a?b，正确； （2）因为a?b，当c?0时，ac?bc，所以错误；
222bb没有意义，而当a?0时，?1，所以错误； aa（4）因为a?0，所以?a?0，b?a?b，正确.
（3）因为a?b，当a?0时，
【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数. 举一反三：
【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．
2222
A．若a＞b，则a＞b； B．若a＞b，则a＞b C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b
【答案】D.
【变式2】若点P（1﹣m，m）在第一象限，则（m﹣1）x＞1﹣m的解集为 ． 【答案】x＜﹣1.
解：∵点P（1﹣m，m）在第一象限，
∴1﹣m＞0， 即m﹣1＜0；
∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m， ∴（m﹣1）x＞﹣（m﹣1），
不等式两边同时除以m﹣1，得： x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
3.设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M＝试比较M、N、P的大小． 【答案与解析】∵a+b+c=-1， ∴b+c=-1-a， ∴M=b?ca?ca?b，N＝，P＝， abc?1?a1=?1?， aa资料来源于网络 仅供免费交流使用
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同理可得N=?1?11，P=?1?； bc又∵a＞0＞b＞c， 111＞0＞＞， cba111∴?1?＜?1＜?1?＜?1? cba∴即M＜P＜N． 【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系． 4.（2016春?唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…① 同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2． ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【答案与解析】 解：∵x﹣y=﹣3， ∴x=y﹣3． 又∵x＜﹣1， ∴y﹣3＜﹣1， ∴y＜2． 又∵y＞1， ∴1＜y＜2，…①
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同理得﹣2＜x＜﹣1…② 由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1． ∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．
【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
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不等式及其性质（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列不等式中，一定成立的有( ).
2 ①5＞-2；②a?1；③x+3＞2；④a+1≥1；⑤(a?1)(b?1)?0．
22 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.若a+b＞0，且b＜0，则a，b，-a，-b的大小关系为（ ）.
A．-a＜-b＜b＜a B．-a＜b＜-b＜a C．-a＜b＜a＜-b D．b＜-a＜-b＜a 3．若a＜b，则下列不等式：①?1?11a??1?b；②?5a?1??5b?1； 22③?a?2??b?2．其中成立的有( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
12
，x的大小关系是( ). x11112222 A．?x?x B．x??x C．x?x? D．?x?x
xxxxac5.已知a、b、c、d都是正实数，且<，给出下列四个不等式： bdaccadbbd????①；②；③；④ a?bc?dc?da?bc?da?ba?bc?d4．若0＜x＜1，则x，
其中不等式正确的是（ ）. A. ①③ B．①④ C．②④ D．②③
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6．（2016春?丰台区期末）下列不等式变形正确的是（ ） A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 C．由a＞b，得
B．由a＞b，得﹣a＜﹣b D．由a＞b，得ac＞bc
二、填空题
7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m，则用不等式表示图中标志的意义为________．
8．(1)若
ab?，则a_________b； c2c22 (2)若m＜0，ma＜mb，则a_________b．
9．已知|3x?12|?(2x?y?m)?0，若y＜0，则m________．
10．已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________． 11．（2016春?济南校级期末）下列判断中，正确的序号为 ．
①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．
12．如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________． 三、解答题
13．用不等式表示：
(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个，请写出满足条件的x的关系式；
(2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄．
14．若a＞b，讨论ac与bc的大小关系．
15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．
222
(1)比较3a-2b+1与5+3a-2b+b的大小； (2)比较a+b与a-b的大小； (3)比较3a+2b与2a+3b的大小．
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【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B；
【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3. 【答案】A ；
【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立. 4. 【答案】C；
【解析】∵0＜x＜1，∴ x≤x≤5.【答案】A； 【解析】∵2
1. xac<，a、b、c、d都是正实数， bd∴ad＜bc， ∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b）， ac，所以①正确，②不正确； ?a?bc?dac∵<，a、b、c、d都是正实数， bd∴∴ad＜bc， ∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c）， ∴db，所以③正确，④不正确． ?c?da?b 故选A． 6.【答案】B．
【解析】A、a＞b，得a﹣2＞b﹣2，错误； B、a＞b，得﹣a＜﹣b，正确； C、a＞b，得
，错误；
D、当c为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B. 二、填空题
7. 【答案】x≤4；
8. 【答案】(1)＜， (2)＞；
【解析】（1）两边同乘以c（c?0）；（2）两边同除以m(m?0). 9. 【答案】＞8；
【解析】由已知可得：x＝4，y＝2x-m＝8-m＜0，所以m＞8. 10．【答案】a??223. 511.【答案】①④⑤
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【解析】解：∵﹣a＞b＞0，∴a＜0，b＞0，∴ab＜0，①正确； ∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，②错误；
∵a＞b，c≠0，∴c＞0时，ac＞bc；c＜0时，ac＜bc；③错误； ∵a＞b，c≠0，∴c2＞0，∴ac2＞bc2，④正确；
∵a＞b，c≠0，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a﹣c＜﹣b﹣c，⑤正确． 综上，可得正确的序号为：①④⑤． 12.【答案】9≤m＜12； 【解析】3x-m≤0，x≤
mm，3≤＜4，∴ 9≤m＜12. 33三、解答题
13.【解析】
解：(1)16×6+(31-16-3)x＞198; (2)3(x+1)+6(y+1)＞m+1. 14.【解析】 解：a＞b，
当c＞0时，ac＞bc， 当c=0时，ac=bc， 当c＜0时，ac＜bc． 15.【解析】
解：(1)3a?2b?1?5?3a?2b?b??b?4?0． ∴ 3a?2b?1?5?3a?2b?b．
(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b＝2b，当b＞0时，a+b-(a-b)＝2b＞0，a+b＞a-b；
当b＝0时，a+b-(a-b)＝2b＝0，a+b=a-b； 当b＜0时，a+b-(a-b)＝2b＜0，a+b＜a-b．
(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；
当a＝b时，3a+2b＝2a+3b； 当a＜b，3a+2b＜2a+3b．
2222222北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
一元一次不等式的解法（提高）知识讲解
【学习目标】
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1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式；
3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
【要点梳理】
要点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
2x?50是一个一元一次不等式． 3要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x?a（或x?a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax?b（或ax?b）的形式（其中a?0）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 是一个集合，是一个范围．其含义： 不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
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(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？ （1）x?0 （2）
1??1 （3）x2?2 （4）x?y??3 （5）x??1 x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断． 【答案与解析】
解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是1次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等式，是一元一次方程． 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型二、解一元一次不等式
2.求不等式
﹣
≤
的非负整数解，并把它的解在数轴上表
示出来．
【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后根据不等式的性质2去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数． 【答案与解析】 解：原不等式可化为：
﹣
≤
去分母，
得6（4x﹣10）﹣15（5﹣x）≤10（3﹣2x） 去括号，得24x﹣60﹣75+15x≤30﹣20x 移项，得24x+15x+20x≤30+60+75 合并同类项，得59x≤165 把系数化为1，得x≤解集x≤
，
的非负整数解是：0，1，2，
数轴表示是：
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【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．
举一反三：
【变式1】解不等式：[(【答案】
32x?1)?2]?x?2
234x?1?3?x?2 43移项、合并同类项得：?x?6
4系数化1，得x??8
故原不等式的解集是x??8.
解：去括号，得【变式2】代数式【答案】
解：根据题意得：解不等式
≤
，
的值不大于
的值，求x的范围．
去分母得：6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x）， 去括号得：6﹣9x+3≤2﹣4x， 移项得：4x﹣9x≤2﹣6﹣3， 合并同类项得：﹣5x≤﹣7， 解得：x≥．
3.m为何值时，关于x的方程：
x6m?15m?1的解大于1？ ??x?632【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
3m?1 53m?1?1 由5x?解得m＞2
【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围． 举一反三：
【变式】已知关于x方程x?【答案】1或2.
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2x?m2?x?的解是非负数，m是正整数，则m? ． 33精品文档 用心整理
4.（2016?杭州模拟）若关于x，y的二元一次方程组＞﹣3.5，求出满足条件的m的所有正整数解． 【思路点拨】先解出方程组再解不等式． 【答案与解析】 解：由方程组
∴﹣0.5m﹣2＞﹣3.5， ∴m＜3，
∴满足条件的m的所有正整数解为m=1，m=2．
【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出x,y的具体值．能得出关于m的不等式是解此题的关键．
的两个方程相减得：x﹣y=﹣0.5m﹣2
的解满足x﹣y
类型二、不等式的解及解集
5.若关于x的不等式x?a只有三个正整数解，求a的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围． 【答案】3?a?4. 【解析】
解：∵不等式x?a只有三个正整数解，
∴三个正整数解为：1，2，3， ∴3?a?4， 【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．
举一反三：
【变式】已知x?a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． 【答案】3?a?4. 类型四、逆用不等式的解集
6. 若关于x的不等式mx?n的解集为x?3，则关于x的不等式5(2m?n)x?m?5n?0的解集 ．
【思路点拨】先根据第一个不等式确定m,n的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解． 【答案】x?【解析】
解：由mx?n的解集为x?10. 73n33?，即n?m 可知得：m?0，
5m55将上式代入(2m?n)x?m?5n?0，
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化简整理得：所以x?7mx?2m，又m?0 510. 7【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定m?0．
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
一元一次不等式的解法（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．已知关于x的不等式(m?1)x|m|?0是一元一次不等式，那么m的值是( ) .
A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝-1 D．不能确定 2．由m?n得到ma?na，则a应该满足的条件是（ ）.
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为任意实数
3．已知y1?2x?5，y2??2x?3，如果y1?y2，则x的取值范围是（ ）.
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＜-2
4．设a，b是常数，不等式+＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx-a＜0的解集是（ ）
A．x＞ B．x＜- C．x＞- D．x＜ 5．（2016?南充）不等式
＞
﹣1的正整数解的个数是（ ）
22A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.关于x的不等式?2x?a?2的解集如图所示，则a的值是（ ）.
A．0 B．2 C． -2 D．-4 二、填空题
7．（2016?绍兴）不等式
＞+2的解是 ．
，则m的值为 ．
8．若不等式（3m-2）x＜7的解集为x＞
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9．比较大小：3a?3b?6________2a?4b?1.
10．已知-4是不等式ax??5的解集中的一个值，则a的范围为________. 11．若关于x的不等式3x?a?0只有六个正整数解，则a应满足________. 12.已知x?a的解集中的最小整数为?2，则a的取值范围是 . 三、解答题
2
13．若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m－1)x＞n．
14.当x为何值时，代数式-x+3的值比6x-3的值大．
15.当2(k?3)?222210?kk(x?5)?x?k的解集． 时，求关于x的不等式
43
22
16.已知A＝2x＋3x＋2，B＝2x－4x－5，试比较A与B的大小．
【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C；
【解析】m?1,m?1?0，所以m??1； 2. 【答案】C；
【解析】由m?n得到ma?na，不等式两边同乘以a，不等号方向没变，所以
222a2?0,即a?0；
3. 【答案】B；
【解析】y1?y2，即2x?5??2x?3，解得：x?2. 4. 【答案】B；
【解析】解：解不等式+＞0，
移项得：＞-， ∵解集为x＜， ∴-=，且a＜0．
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∴b=-5a＞0，=-． 解不等式bx-a＜0， 移项得：bx＜a，
两边同时除以b得：x＜， 即x＜-．
故选B．
5.【答案】D．
【解析】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6， 去括号得：3x+3＞4x+4﹣6， 移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3， 合并同类项得：﹣x＞﹣5， 系数化为1得：x＜5，
故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个. 6. 【答案】A；
【解析】因为不等式?2x?a?2的解集为x?a?2，再观察数轴上表示的解集为2x??1，因此
二、填空题
a?2??1，解得a?0 2【解析】去分母，得：3（3x+13）＞4x+24， 去括号，得：9x+39＞4x+24， 移项，得：9x﹣4x＞24﹣39， 合并同类项，得：5x＞﹣15， 系数化为1，得：x＞﹣3， 故答案为：x＞﹣3． 8. 【答案】-；
，
【解析】解：∵（3m-2）x＜7的解集为x＞
∴x＞∴
， =-，解得m=-．
．
故答案为：-
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9. 【答案】＞；
【解析】(3a?3b?6)?(2a?4b?1)?a?b?5?0，
所以3a?3b?6?2a?4b?1. 10．【答案】a?22222222225； 45. 4【解析】将-4代入得：?4a??5，所以a?11.【答案】18?a?21； 【解析】由已知得：x?aa，6??7，即18?a?21. 3312.【答案】?3?a??2
【解析】画出数轴分析得出正确答案. 三、解答题 13.【解析】
解：Qm?1?0,∴?m?1?0. ∴(－m－1)x＞n ，
两边同除以负数（－m－1）得：x?2
2
22nn. ???m2?1m2?1∴原不等式的解集为：x??14.【解析】
解：由题意得，-x+3＞6x-3，
n. m2?1去分母得，-x+18＞6（6x-3）， 去括号得，-x+18＞36x-18， 移项得，-x-36x＞-18-18， 合并同类项，-37x＞-36， 把x的系数化为1得，x＜因此，当＜15.【解析】 解：2(k?3)?．
时，代数式-x+3的值比6x-3的值大．
10?k 36k-18＜10-k
k＜4
k(x?5)?x?k4 kx-5k＞4x-4k
(k?4)x＞k
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x＜k． k?416.【解析】
解：A?B?7x?7,
当x??1时，A?B；当x??1时，A?B；当x??1时，A?B.
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实际问题与一元一次不等式（提高）知识讲解
【学习目标】
1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题； 2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系 1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
利润3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，利润率=?100%
进价4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：abcd?a?10?b?10?c?10?d.
要点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点诠释：
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(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如下面例1中 “设还需要B型车x辆 ”，而在答中 “至少需要11台B型车 ”．这一点要应十分注意． 【典型例题】
类型一、简单应用题
1.蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？
【思路点拨】本题的数量关系是：7辆A型汽车装载货物的吨数+B型汽车装货物的吨数≥300吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值． 【答案与解析】
解：设需调用B型车x辆，由题意得：
7?20?15x≥300， 解得： x≥102， 3又因为x取整数，所以x最小取11． 答：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车11辆． 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．
举一反三： 【变式】（2015?香坊区二模）某商场共用2200元同时购进A、B两种型号的背包各40个，且购进A型号背包2个比购进B型号背包1个多用20元． （1）求A、B两种型号背包的进货单价各为多少元？
（2）若该商场把A、B两种型号背包均按每个50元的价格进行零售，同时为了吸引消费者，商场拿出一部分背包按零售价的7折进行让利销售．商场在这批背包全部销售完后，若总获利不低于1350元，求商场用于让利销售的背包数量最多为多少个？
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【答案】 解：（1）设A型背包每个为x元，B型背包每个为y元，由题意得
，
解得：．
答：A、B两种型号背包的进货单价各为25元、30元； （2）设商场用于让利销售的背包数量为a个，
由题意得，50×70a%+50（40×2﹣a）﹣2200≥1350， 解得：a≤30．
所以，商场用于让利销售的背包数数量最多为30个． 答：商场用于让利销售的背包数数量最多为30个． 类型二、阅读理解型
2.（2016?宁波）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
进价（万元/套） 售价（万元/套）
A 1.5 1.65
B 1.2 1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元． （1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？ 【思路点拨】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意列方程组即可求得答案；
（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，根据题意得总资金不得超过69万元，列不等式即可求得答案． 【答案与解析】
解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，
，解得：
，
答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套； （2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套， 1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，
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解得：a≤10，
答：A种设备购进数量至多减少10套．
【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言．
【变式】为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：
（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为 元； （2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为 立方米；
（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？ 【答案】解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15时，水价为：5元/立方米，
故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5=70（元）； （2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，
∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米， 设小明家6月份使用水量为x立方米， ∴75+（x﹣15）×7=110， 解得：x=20，
故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米）， 故答案为：5；
（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：
117+（a﹣21）×9≤180， 解得：a≤28．
答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．
类型三、方案选择型
3.某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： （1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x 45x 400x B 5﹣x __________ ___________
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
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（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【思路点拨】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可；
（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；
（3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可． 【答案与解析】 解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， ∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）； 故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）． （2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4， ∴x的最大值为4；
（3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元， 但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去； ②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元， 但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去； ③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元， 但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去； ④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元， 但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元， 但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆． 【总结升华】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金关系是解决问题的关键． 举一反三：
【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆? 【答案】
解：设四座车租x辆，则十一座车租
70?4x辆． 11依题意 70×60+60x+(70-4x)×10≤5000， 将不等式左边化简后得：20x+4900≤5000， 不等式两边减去3500得 20x≤100， 不等式两边除以20得 x≤5， 又∵
70?4x70?4x?6． 是整数，∴x?1，
1111答：公司租用四座车l辆，十一座车6辆．
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4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．
（1）至少购进乙种电冰箱多少台？
（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
【思路点拨】（1）关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000，根据此不等关系列不等式即可求解；（2）关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台数，以及（1）中得到的关系式联合求解． 【答案与解析】
解：（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80-3x）台， 根据题意得1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000 解这个不等式得x≥14 ∴至少购进乙种电冰箱14台； （2）根据题意得2x≤80-3x 解这个不等式得 x≤16 由（1）知 x≥14 ∴14≤x≤16 又∵x为正整数 ∴x=14，15，16． 所以，有三种购买方案
方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台. 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台. 方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．
【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不足”、“至多”等表示不等关系的关键词，通过这些词语，可以直接找到不等关系．
北师大版八年级下册数学
重难点突破
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知识点梳理及重点题型巩固练习
实际问题与一元一次不等式（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．毛笔每支2元，钢笔每支5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是 ( )
A．5支毛笔，2支钢笔 B．4支毛笔，3支钢笔 C．0支毛笔，5支钢笔 D．7支毛笔，1支钢笔
2．小明用100元钱去购买三角板和圆规共30件，已知三角板每副2元，每个圆规5元，那么小明最多能买圆规 ( )
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
3．某风景区招待所有一两层客房，底层比二层少5间，一旅行团共有48人，若全部安排住 底层，每间住4人，房间不够；而每间住5人，有的房间未住满；若全部安排住二层，每 间住3人，房间也不够；每间住4人，有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间 ( ) A．9间 B．10间 C．11间 D．12间
4．一个两位数，某个位数字比十位数字大2，已知这个两位数不小于20，不大于40，那么这个两位数是多少？为了解决这个问题，我们可设个位数字为x，那么可列不等式（ ）． A．20≤10（x-2）+x≤40 B．20＜10（x-2）+x＜40 C．20≤x-2+x≤40 D．20≤10x+x-2≤40
5．（2016?雅安）“一方有难，八方支援”，雅安芦山4?20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（ ） A．60 B．70 C．80 D．90
6．（2014?射阳县校级模拟）现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ） A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
二、填空题
7．若m?5，试用m表示出不等式(5?m)x?1?m?x的解集 .
8．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多只能安排_______人种甲种蔬菜．
9．某种肥皂零售价每块2元，对于购买两块以上(含两块)，商场推出两种优惠销售办法：第一种为一块按原价，其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂______块．
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