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∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°， ∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD ∵∠EDF=60°， ∴∠BDE=∠ADF， 在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 个．
【答案】4；
提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
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【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角
平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可．
【答案与解析】 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF． 【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE． 举一反三： 【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（ ）
A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算 【答案】A； 提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x；
x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．
类型四、含30°角的直角三角形
5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然 后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边
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等于斜边的一半解答即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°， 即△CAD为等腰三角形， ∴AD=CD=13， 在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°， ∴AB=11AD=×13=6.5(m)． 22【总结升华】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 举一反三：
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=1∠BAC，过点D作DE21DB． 2 【答案】
解：∵DE⊥AB， ∴∠AED=∠BED=90°， ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠3=∠4，又∵DE=DE， ∴△BED≌△AED（ASA）， ∴AD=BD，∠2=∠B， ∵∠BAD=∠2=1∠BAC， 2∴∠1=∠2=∠B， ∴AD=BD， 又∵∠1+∠2+∠B=90°， ∴∠B=∠1=∠2=30°， 在直角三角形ACD中，∠1=30°， ∴CD= 11AD= BD． 22类型五、反证法
6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【答案与解析】
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证明：假设它们所对的边相等；
则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等； 这就与题设两个角不等相矛盾； 因此假设不成立，故原结论成立．
【总结升华】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
举一反三：
【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 .
【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于( )． A．30° B．36° C．45° D．54°
2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（ ） A. a，b没有一个为0 B. a，b只有一个为0 C. a，b至多有一个为0 D. a，b两个都为0
3. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB＋CE；
③AD＋DE＋AE＝AB＋AC； ④BF＝CF. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A．顶角的一半 B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半 5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）
A．
cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
二.填空题
7．（2016?通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 ．
9. 等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm,则其余两边长分别为________. 10.（2015春?盐城校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，△ABD为等腰三角形．
11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
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