2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练1(附答案详解)

【解析】 【分析】

作点E关于直线BD的对称点E1，连接CE1交BD于点P，则CE1的长即为PE＋PC的最小值，由菱形的性质可知，E1为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得△BCE1是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE1的长，继而可得出结论． 【详解】

解：如图所示：作点E关于直线BD的对称点E1，连接CE1交BD于点P，则CE1的长即为PE＋PC的最小值

∵四边形ABCD是菱形， ∴BD是∠ABC的平分线， ∴E1在AB上， 由图形对称的性质可知，

11BC＝×4＝2， 221∵BE＝BE1＝BC，

2BE＝BE1＝

∴△BCE1是直角三角形，

∴CE1＝BC2－BE2=42－22=23， ∴PE＋PC的最小值是23， 故选：B 【点睛】

本题考查菱形的性质、轴对称-最短路线问题，利用了角平分线的性质和直角三角形的判定及勾股定理，掌握确定最短路线的方法是解题的关键． 4．B 【解析】 【分析】

作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小；再作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD'=∠DD'C，然后根据平行线的性质得出∠D'CE=∠DD'C，从而求得∠D'CE=∠DCD'，得出∠D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD的最小值． 【详解】

P即为所求，作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小． 作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD． ∵CD=2AD， ∴DD'=CD， ∴∠DCD'=∠DD'C． ∵∠DAB=∠ABC=90°， ∴四边形ABED'是矩形， ∴DD'∥EC，D'E=AB=3， ∴∠D'CE=∠DD'C， ∴∠D'CE=∠DCD'． ∵∠DCB=60°， ∴∠D'CE=30°，

∴D'C=2D'E=2AB=2×3=6， ∴PC+PD的最小值为6． 故选：B．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键． 5．（1）2；（2）

321310 ；（3）

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【解析】 【分析】

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．设AH=CH=x，根据BC?2?23，构建方程即可解决问题．

（2）如图2中，作EJ⊥DF于J．利用相似三角形的性质求出EJ，再根据垂线段最短即可解决问题．

（3）如图3中，如图3中，记MN的中垂线与AC的交点为点O，连接OM，ON，OB，OD，并以点O为圆心，OM为半径长作⊙O．以点O为圆心，OM为半径作圆，当⊙O与CD相切于 N时，即此时⊙O也与AB，BC相切，切点分别为M，G，此时MN最小．连接OG．设AC交BD于J，作AT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出MN即可． 【详解】

解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H． 在Rt△ACH中，∵∠C=45°，∠AHC=90°， ∴AH=CH，设AH=CH=x．

在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=30°， ∴BH=3AH?3x， ∴3x?x?2?23 ∴x=2，即AH=2，

∴点A到BC的最短距离为2．

（2）如图2中，作EJ⊥DF于J， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=3，

∵AE?11AD，CF?BC，

33∴AE=CF=1，DE=BF=2， ∴DF=DC2?CF2?10， ∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE∥DF， ∵EJ⊥DF，

∴∠EJD=∠EDC=∠C=90°，

∴∠EDJ＋∠CDF=90°，∠CDF＋∠CFD=90°， ∴∠EDJ=∠CFD， ∴△EDJ∽△DFC， ∴

EJDE?， DCDFEJ2? 即310∴EJ?310， 5310； 5根据垂线段最短可知，MN的最小值为=EJ?

（3）如图3中，记MN的中垂线与AC的交点为点O，连接OM，ON，OB，OD，并以点O为圆心，OM为半径长作⊙O．以点O为圆心，OM为半径作圆，当⊙O与CD相切于 N时，即此时⊙O也与AB，BC相切，切点分别为M，G，此时MN最小．连接OG．设AC

交BD于J，作AT⊥BC于T．

在Rt△ABT中，∵∠ATB=90°，AB=3，∠ABT=60°， ∴BT=

1333AB?，AT=3BT?， 222∴CT=BC?BT=2?31?， 2222??331??∴AC?AT2?TC2????7， ?2???????2?∵AB=AD，CB=CD， ∴AC⊥BD，BJ=DJ， ∴

11AC?BJ?BC?AT 22BC?AT321， ?AC7∴BJ?∵OM=OG，OM⊥AB，OG⊥BC， ∴OB平分∠ABC， ∴∠OBM=

1?ABC?30?， 2∴OB=2OM，

∵OB=OD，OM=ON，BM=DN， ∴△OMB≌△OND（SSS）， ∴∠BOM=∠NOD， ∴∠MON=∠BOD， ∵OM=ON，OB=OD， ∴△MON∽△BOD， ∴

MNOM1??， BDOB21321， BD?BJ?27∴MN?