【分析】
（1）如图①中，结论：AF=2AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF=2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF=2AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可． 【详解】
解：（1）如图①中，结论：AF=2AE． 理由：∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB=DF， ∵AB=AC， ∴AC=DF， ∵DE=EC， ∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=2AE．
（2）如图②中，结论：AF=2AE． 理由：连接EF，DF交BC于K． ∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°， ∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，
∵∠ADE=180°=135°﹣∠EDC=180°﹣45°， ∴∠EKF=∠ADE， ∵∠DKC=∠C， ∴DK=DC， ∵DF=AB=AC， ∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
EK?DK{?EKF??ADE， KF?AD∴△EKF≌△EDA， ∴EF=EA，∠KEF=∠AED， ∴∠FEA=∠BED=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=2AE．
（3）如图③中，结论不变，AF=2AE． 理由：连接EF，延长FD交AC于K．
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC， ∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC， ∴∠EDF=∠ACE， ∵DF=AB，AB=AC， ∴DF=AC
在△EDF和△ECA中，
?DF?AC???EDF??ACE， ?DE?CE?∴△EDF≌△ECA， ∴EF=EA，∠FED=∠AEC， ∴∠FEA=∠DEC=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=2AE． 【点睛】
本题考查四边形综合题，综合性较强． 11．41． 【解析】
【分析】
将?ABP绕着点B逆时针旋转60?，得到?DBE，连接EP，CD，通过三角形全等得出三点共线长度最小，再利用勾股定理解答即可. 【详解】
如图，将?ABP绕着点B逆时针旋转60?，得到?DBE，连接EP，CD，
??ABP??DBE
??ABP??DBE，BD?AB?4，?PBE?60?，BE?PE，AP?DE， ??BPE是等边三角形 ?EP?BP
?AP?BP?PC?PC?EP?DE
?当点D，点E，点P，点C共线时，PA?PB?PC有最小值CD
Q?ABC?30???ABP??PBC ??DBE??PBC?30? ??DBC?90?
?CD?BD2?BC2?41，
故答案为：41． 【点睛】
本题考查三点共线问题，正确画出辅助线是解题关键. 12．35?3 【解析】 【分析】
先判断出RtVADM≌RtVBCN?HL?，得出?DAM??CBN，进而判断出
VDCE≌VBCE?SAS?，得出?CDE??CBE，即可判断出?AFD?90o，根据直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF?1AD?3，利用勾股定理列式求出OC，然后2根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小． 【详解】 如图，
在正方形ABCD中，AD?BC?CD，?ADC??BCD，?DCE??BCE， 在RtVADM和RtVBCN中，
?AM?BN，
AD?BC?RtVADM≌RtVBCN?HL?， ??DAM??CBN，
在VDCE和VBCE中，
?BC?CD???DCE??BCE， ?CE?CE??VDCE≌VBCE?SAS?， ??CDE??CBE， ??DCM??CDE，
Q?ADF??CDE??ADC?90o， ??DAM??ADF?90o， ??AFD?180o?90o?90o，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF?DO?1AD?3， 2在RtVODC中，OC?DO2?DC2?35， 根据三角形的三边关系，OF?CF?OC，
?当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值?OC?OF?35?3， 故答案为35?3． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键． 13．3． 2【解析】 【分析】
先找出点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E′F为PE+PF的最小值，过点B作BG⊥AD于G，解直角三角形求出BG，再根据平行线间的距离相等即可得解． 【详解】 解：如图，
点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P， 则PE+PF＝E′F为最小值的情况， 过点B作BG⊥AD于G， ∵AB＝1，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，
相关推荐：
loading