实变函数测试题10
11??A??1?,1?,n?1,2,3,?, 分别求?An?的上极限与下极限。 1、设n??nn??解：limAk?{x存在无限多个Ak，使x?Ak}???1,1?
x?? limAk?{x当k充分大，总有x?Ak}???1,1?
x??2、试证明下面三个陈述等价
E的聚点。 （1）P0是
E而异于P（2）P0的任意领域内，至少含有一个属于0的点。
（3）存在中互异的点所成的点列?Pn?，使得Pn?P0(n??)。
证：由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现证由（2）推出（3）.
由假定在U(P0,1)中至少有一点P1属于E而异于P0，令
1,),}U(P0,?1)中至少有一点P2属于E而异于P，则在10，令21E而异于P?2?min{d(P2,P0),，则在}U(P0,?2)中又至少有一点P3属于0，这样3?1?mind{P0(?继续下去，便得到点列{Pn}，它显然满足要求，证毕.
3、设S1,S2,?,Sn是一些互不相交的可测集合，Ei?Si,i?1,2,?,n,求证
m*(E1?E2???En)?m*E1?m*E2???m*En。
证：因为S1,S2,???,Sn互不相交，且Ei?Si,i?1,2,???,n,所以E1,E2,???,En也不相交。令T?所以
mT?m(T?(?Si))?m(?(T?Si))??m(T?Si)??m*Ei.
****i?1i?1i?1i?1nnnn?Ei?1ni，易知T?Si?Ei,T?(?Si)??(T?Si)??Ei?T。
i?1i?1i?1nnn4、证明有理数集是可测集。
证：令E为R中的有理数全体，则E为可数集。设E?{r1,r2,?,rn,?}，则对
????????????0，令 Ii??ri?i?1,ri?i?1?，则Ii?i，E??Ii，而?Ii??i??，
222??i?1i?12i?1 1
故mE?inf?Ii即m*E?0。
*i?1?下证E可测。
对任意T，T?(E?T)?(T?eE)，所以m*T?m*(E?T)?m*(T?eE)。
E?T,m*(T?E)?m*T， 又 (E?T)?E，所以m*(E?T)?m*E?0.T?痧所以 m*(E?T)?m*(T?eE)?m*T， 所以m*T?m*(T?E)?m*(T?eE)， 因而E是可测的。
5、设E?Rq， m*E?0，试证对任意的A?Rq，有m*(E?A)?m*A。 证：m*(E?A)?m*E?m*A?m*A
? A 又 A?E 则 m*A?m*(E?A) 故 m*A?m*(E?A)
{f?(x)}??I是Rp上的一簇可测函数，6、设有指标集I，试问S(x)?supf?(x)是
??I否也是Rp上的可测函数，为什么？ 解：不一定。
设I是E上的不可测集，对???I，令 f?(x)???1,x?I,? 则S(x)?supf?(x)??不可测。
0,x?0,1\\I。??I?????1,x??,
0,x??。?7、证明：f(x)在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E?f?r?可测。
如果集E?f?r?可测，问f(x)是否可测？
证：若对?a?Q,E?f?r?可测，则对任意?a?R,记{rn}是大于a的一切有理数，
则有E?f?a???E?f?rn?，由E?f?rn?可测得E?f?a?是可测的，所以
i?1?f(x)是E上的可测函数。
E?(??,??)， 若对?r?Q,E?f?r?可测，则f(x)不一定是可测的。例如，
2
z是(??,??)中不可测集。对任意x?z，f(x)?3；x?z,f(x)?2，则对
?任意的有理数，E?f?r???是可测的。而E??f?2??z是不可测的。一次f不是可测的。
8、设f(x)，g(x)是E上非负可测函数且f(x)g(x)E上可积。令Ey?E[g?y]。
证明：
F(y)??Ef(x)dx
y对一切y?0都存在，且成立
??0F(y)dy??Ef(x)g(x)dx。
证：由于g(x)是E上非负可测函数，则对?y?0,Ey是可测集，从而
F(y)??E（fx）dx存在且F(y)?0。用Fubini定理，可知
y??????0F(y)???0???E（fx）dx?dyy?????0??E?E（yx）（fx）dx?dy
??????Ef(x)0?E（yx）dy?dx??Ef(x)??g(x)01dy?
dx??Ef(x)g(x)dx。 这里?E（yx）表示Ey上的特征函数。 9、设mE??, f(x)在E上可积，en?E[f?n],则 limnn?men?0。
证： 由于f(x)在E上可积，故为E上a.e.有限的可测函数，所以
?mE???f?????0。另外，由en?en?1,me1?mE??以及?en?E??f???1?，
i?则有
lnimmne?m??E?f???。0?
由于（fx）可积，由积分的绝对连续性，对于???0，???0，当e?E 3
且me??时，
?e（f）xd??x。
对此??0，存在N，使当n?N时，men??，故
??（）fx??dx n?mne，
e即
m?mne? 0 linn10、试述有界变差函数的定义，并证明在[a,b]上的任意有界变差函数f(x)都可
以表示成两个增函数之差。
解: 设f(x)为[a,b]上的有限函数，如果对于[a,b]的一切分划
T:a?t0?t1?t2???tn?b
?n?使 ??f(xi)?f(xi?1)?成一有界数集，则称f(x)为[a,b]上的有界变差函数（囿
?i?1?变函数），
并称这个上确界为f(x)在[a,b]上的全变差，记为V(f)。
ab证明：由定理可知g(x)=V(f)是[a,b]上的增函数。
Ax令h(x)?g(x)?f(x)，则有h(x)是[a,b]上的增函数。因为对于a?x1?x2?b有，
h(x2)?h(x1)?g(x2)?g(x1)??f(x2)?f(x1)?
?V(f)??f(x2)?f(x1)?x1x2
?f(x2)?f(x1)?f(x2)?f(x1)?0。所以f(x)?g(x)?h(x)，其中g(x)，h(x)均为[a,b]的有限增函数。
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