-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明
l + d(3)
也是X上的距离。
1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间，丫为B空间)
2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为
p(x，y
,求证S是一个完备的距离空间。
3、 Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、 附加题
开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。
Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定 义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足:
⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件);
(2)||/|| = UII0(保范条件),
其中表示人在X。上的范数。
闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是XTY的闭线性算子，并且D(T)是 闭的，则卩是连续的。
共鸣定理(毘9)
设X是B空间，丫是￡空间，如果
Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| AeW |A|| 五、(10 分)在C[0,1]上定义内积：厶[0,1],(x)g(x)必 (1) 如果 /(兀)=疋 一X + ；,求 11/11； 6 9 1 (2) 证明任?一函数g(x) = a + bx都正交于/(x) = x -X + — o 2六、(10分)设M为Hilbert空间X的闭子空间，证明对每个xw X必存在唯一的xoeM, x-x0 = inf x-y yeM 七、 （15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\\且求||/||。 八、 （15分）简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2. 泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3. H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。 一、 在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0. 二、 在R中赋予距离p（x,y） =| arctanx-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什 么？ 设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从 Q0,1]TQ0,1]的算子再求||门 四论述题： 1、 证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、 论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、 证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间，￡，兀儿则当X\儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴ + 7V, （2） fit （】）任取f�E;及则 （T: + Tt） V（r） rs）?> f（T^） + /（r?z > -r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ? 山人工的任尴性.得 ： 《珀 + T护= + <2）由共馳算子性质1?■即得:工 7. i殳T足賦范空何E到赋范空间上的线性右界算 子，如果存在正数乩 使符对任何乂 �戌 |Tz|>6|x| 证明T仔在逆算子T J 时仪幷H\1是仔界的? a対f?线竹奔十儿？？氏UEE)划由关系式 ”工14“阖为彩=\?因此T起材到&上的1-1映谢。所U 厂>“任。任取必疗住唯一的心:,使 Tx^y 令则易证足吊到￡的找性算子?由于 \\Tx\\>b\\x\\.所以 IT ?!/PkKj 因此T ' ;&閃到E的线性仆界算子?沫 4?设M.是区间［a, &］上有界瓯数的全体，％中的 线性运祥与C［a』］中的相同， 在M。上定义范敷 l?l\［?(0| ?<(<* 证明时。是巴拿般空间. 証 M证耐。关于|?|成为賦范空间?现证M。是完备的. 设仗■｝为M.中的基本列，那么对v^>O.^a：N >0. g n>N时，有 ?up I?4O-xw(t)| ???対”堆［a#h右 JxXt)-xnl(O| (n, m >N) ??????(▲) P!此{况化”为一致墓本列?从而存在xW.使 一致 .. x,(O— x(O (n— oo) ' 显然x� *V0.在(▲》式中，固定\，令加一oo,便仔 1^(0 - x(i)|*5? (n^N) ?： 即 “ |观?兀|= sup ?(t)l ? c … ? ■ t ?■?：? M。为巴拿赫空间.※ 7.证明：设｛el9e2,...,ej是Hilbert空间中的一个标准正交集，令 M =里初｛勺,勺,???，￡”｝，如果P是H到M上的正交投影算子，则办w H,有 Px = ^{x,ek)ek o k=\\ 3?设M是Hilbert空间H的闭线性子空间，仁H ,且f.eM是满足 ||/z-/o|| = rf(7z,M) = inf||x-/z||的唯一元素,那么,h-fQ 丄M。 4设X是内积空间,｛en：nEN｝是X中的标准正交系，则对任意的xeX#成立 Bessel 不等式： 7.证明：设｛勺心,…,—｝是M =也劝｛勺有 ￡|v心“ ＞『外『? n=l Hilbert空间中的一个标准正交集，令 ,02，???,匕｝,如果P是H到M上的正交投影算子，则川 Px = ^(x9ek)ekO k=l 0兀w H,
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