1．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，E为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF＝2FB． （1）证明：BD∥平面CEF；
（2）若PA⊥AC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
，设点
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD． （1）证明：SH⊥平面BCDE． （2）求二面角C﹣SB﹣E的余弦值．
3．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1⊥底面ABC，侧棱A1A与底面ABC所成角为60°，AA1＝AB＝2，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，点G为△
ABC的重心，点E在BC1上，且（Ⅰ）求证：GE∥平面A1ABB1；
．
（Ⅱ）求平面B1GE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
4．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC； （Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．
，G是PB的中点，△PAD
5．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为4的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，
，点M为棱BC的中点，点N在棱PC上且满足
，已知使得异面直
线MN与AC所成角的余弦值为（1）求λ1，λ2的值；
的λ有两个不同的值λ1，λ2（λ1＜λ2）．
（2）当λ＝λ1时，求二面角N﹣AM﹣C的余弦值．
1．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF＝2FB． （1）证明：BD∥平面CEF；
（2）若PA⊥AC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
，设点E
【解答】（1）证明：连接PD交CE于G点，连接FG， ∵点E为PA的中点，点D为AC的中点， ∴点G为△PAC的重心，则PG＝2GD， ∵PF＝2FB，∴FG∥BD，
又∵FG?平面CEF，BD?平面CEF， ∴BD∥平面CEF；
（2）解：∵AB＝AC，PB＝PC，PA＝PA， ∴△PAB≌△PAC，
∵PA⊥AC，∴PA⊥AB，可得PA＝2，
又∵AB⊥AC，则以AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），E（0，0，1），
，
设平面PBC的一个法向量为
，
，
．
由，取z＝1，得．
设直线CE与平面PBC所成角为θ，则
sinθ＝|cos|．
∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD． （1）证明：SH⊥平面BCDE． （2）求二面角C﹣SB﹣E的余弦值．
【解答】（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM， 由已知得AE＝AB＝2，∴SE＝SB＝2， 又点H是BE的中点，∴SH⊥BE．
∵SC＝SD，点M是线段CD的中点，∴SM⊥CD．
又∵HM⊥BC，∴HM⊥CD，从而CD⊥平面SHM，得CD⊥SH， 又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE；
（2）解：（方法一）取BS的中点N，BC上的点P，使BP＝2PC，连接HN，PN，PH， 可知HN⊥BS，HP⊥BE．
由（1）得SH⊥HP，∴HP⊥平面BSE，则HP⊥SB， 又HN⊥BS，∴BS⊥平面PHN，
相关推荐：
loading