答： 作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC
内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，，所以=（
），D（
，﹣1，
），F（，，0），
，0，﹣），=（0，2，0），因此?=0，
所以EF⊥BC．
（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，由
），
，1），
得其中一个=（1，﹣
设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos＜，＞|=|因此sinθ=
=
|=，
．
，即所求二面角正弦值为
点本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知评：识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理
论证能力和运算求解能力．
20．（12分）（2014?辽宁）圆x+y=4的切线与x轴正半轴，y
2
2
轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C：﹣=1过点P且离心率为
1
．
（Ⅰ）求C的方程；
1
（Ⅱ）若椭圆C过点P且与C有相同的焦点，直线l过C的右焦
2
1
2
点且与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l
2
的方程．
考直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程． 点：
专圆锥曲线的定义、性质与方程． 题：
分（Ⅰ）设切点P（x，y），（x＞0，y＞0），利用相互垂
0
0
0
0
析：直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，
即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C的焦点．可设椭圆C的方程为
2
2
（b＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题
1
意可设直线l的方程为x=my+
1
1
2
2
，
A（x，y），B（x，y），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 解解：（Ⅰ）设切点P（x，y），（x＞0，y＞0），则切线
0
0
0
0
答： 的斜率为
，
，化为xx+yy=4．
0
0
可得切线的方程为令x=0，可得
；令y=0，可得
．
∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S=∵4=∴
．此时P
，
．
1
=．
，当且仅当
．
，解得a=1，b=2．
2
2
时取等号．
由题意可得
故双曲线C的方程为
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C的焦点（±圆C的焦点．
2
，0），即为椭
可设椭圆C的方程为
2（b＞0）．
1
把P代入可得
．
，解得=3，
因此椭圆C的方程为
2
由题意可设直线l的方程为x=my+y），
2
，A（x，y），B（x，
1
1
2
联立∴∴x+x=
1
2
，化为，
=
=． ，
．
，
xx=
1
2
，
∵∴∴
，∴
， +
，解得m=
或m=
或
，
，
，
因此直线l的方程为：
．
点本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直评：的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线
的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．
21．（12分）（2014?辽宁）已知函数 f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1） g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣） 证明：
（Ⅰ）存在唯一x∈（0，），使f（x）=0；
0
0
（Ⅱ）存在唯一x∈（，π），使g（x）=0，且对（Ⅰ）中的
1
1
x，有x+x＜π．
0
0
1
考利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题点：中的应用．
专综合题；导数的综合应用． 题：
分（Ⅰ）根据x∈（0，）时，f′（x）＜0，得出f（x）是析：单调减函数，
再根据f（0）＞0，f（）＜0，得出此结论； （Ⅱ）构造函数h（x）=x∈[，π]，
令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零点t∈（0，），
1
﹣4ln（3﹣x），
即证g（x）存在唯一的零点x∈（，π），满足x+x＜π．
1
0
1
解证明：（Ⅰ）∵当x∈（0，）时，f′（x）=﹣（1+sinx）2x﹣cosx＜0， 答：（π+2x）﹣
∴函数f（x）在（0，）上为减函数， 又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π﹣＜0；
2
∴存在唯一的x∈（0，），使f（x）=0；
0
0
（Ⅱ）考虑函数h（x）=x∈[，π]，
﹣4ln（3﹣x），
令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]， 记函数u（t）=h（π﹣t）=则u′（t）==
﹣
﹣4ln（1+t），
﹣
?
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