1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，
AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD； (2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
证明 (1)如图，取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，且EH＝1
2AB.
又AB∥CD，且CD＝1
2AB，
所以EH綉CD.
所以四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD， 所以CE∥平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA.
又AB⊥PA，且EF，PA共面， 所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG， 因此AB⊥平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥DC.
又AB∥DC，所以MN∥AB， 因此MN⊥平面EFG.
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又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
2、如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点． (1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
证明 (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. (2)
连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点． 由Q为PA中点，得QM∥PC， 又O为AB中点，得OM∥BC. 因为QM∩MO＝M，QM?平面QMO，
MO?平面QMO，BC∩PC＝C， BC?平面PBC，PC?平面PBC.
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
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(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD. 又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD?平面PCD， 又E，F分别是CD和CP的中点， 所以EF∥PD，故CD⊥EF.
由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD.
4．在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝1
2
BC，G是BC的中点．
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(1)求证：AB∥平面DEG； (2)求证：EG⊥平面BDF.
证明 (1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC. 又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綉BG， ∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG. ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG.
(2)连接GF，四边形ADFE是矩形， ∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，EG?平面BCFE，∴DF⊥EG. ∵EF綉BG，EF＝BE， ∴四边形BGFE为菱形， ∴BF⊥EG，
又BF∩DF＝F，BF?平面BFD，DF?平面BFD， ∴EG⊥平面BDF.
5.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△ABF是等边三角形，棱EF∥BC，1
且EF＝BC.
2
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