18．（12分）（2016?临沂一模）在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF折起到△A1EF的位置上，连接A1B，A1C（如图2）
（I）求证：FP∥面A1EB； （Ⅱ）求证：EF⊥A1B．
【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，得FP∥BE，由此能证明FP∥平面A1EB． （Ⅱ）设正三角形ABC的边长为3，则AE=1，AF=2，由余弦定理得EF=AB，又EF⊥A1E，EF⊥BE，由此能证明EF⊥A1B．
【解答】证明：（Ⅰ）∵正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2， ∴FP∥BE，
又BE?平面A1EB1，FD?平面A1EB， ∴FP∥平面A1EB．
（Ⅱ）设正三角形ABC的边长为3，则AE=1，AF=2，
∵∠EAF=60°，∴EF=AE+AF﹣2AE?AFcos∠EAF=1+4﹣2×1×2×cos60°=3， ∴EF=
，
2
2
2
2
2
2
，由勾股定理得EF⊥
在△ABF中，AF=AE+EF，∴EF⊥AE，∴EF⊥AB， 则在图2中，有EF⊥A1E，EF⊥BE， ∴EF⊥面A1EB，
又∵A1B?面A1EB1，∴EF⊥A1B．
【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19．（12分）（2016?临沂一模）已知正数列{an}的前n项和Sn满足（ I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记数列
的前n和Tn．
，求．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）由
，当n=1时，4a1=
+1，化为
=0，解得a1．当
n≥2时，化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，由于an＞0，可得an﹣an﹣1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可知：an=2n﹣1，可得=
=[log2（n+1）]，利用[x]的定义可得：
=n．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出数列的前n和Tn．
【解答】解：（I）∵∴当n=1时，4a1=
+1，化为
+2an+1﹣
，
=0，解得a1=1．
，化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）
当n≥2时，4（Sn﹣Sn﹣1）==0，
∵an＞0，∴an﹣an﹣1=2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（II）由（I）可知：an=2n﹣1，可得
由[x]的定义可知：b2=[log23]=1，b4=[log25]=2，…， ∴
=
=n．
=[log2（n+1）]，
∴数列
23n
的前n和Tn=1×2+2×2+3×2+…+n?2，
23nn+1
2Tn=2+2×2+…+（n﹣1）×2+n?2，
∴﹣Tn=2+2+…+2﹣n?2=∴Tn=（n﹣1）?2+4．
n+1
2nn+1
﹣n?2=（1﹣n）?2﹣4，
n+1n+1
【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、新定义函数[x]的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（13分）（2016?临沂一模）已知函数
（ I）证明：函数f（x）在[1，e]上存在唯一的零点；
（Ⅱ）若g（x）≥af（x）在[1，e]上恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调性，求出f（1）f（e）＜0，证出结论即可； （Ⅱ）问题转化为x+
﹣alnx≥0在[1，e]上恒成立，令h（x）=x+
﹣alnx，x∈[1，e]，通．
过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的具体范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=lnx﹣，x∈[1，e]， 则f′（x）=+
＞0在[1，e]恒成立，
则f（x）在[1，e]递增，
又f（1）=﹣1＜0，f（e）=1﹣＞0，即f（1）?f（e）＜0， ∴函数f（x）在[1，e]上存在唯一的零点； （Ⅱ）由g（x）≥af（x）在[1，e]上恒成立，
则x+≥a（lnx﹣），即x+令h（x）=x+则h′（x）=
∵x∈[1，e]，∴x+1＞0，
﹣alnx≥0在[1，e]上恒成立，
﹣alnx，x∈[1，e]，
，
①1+a≥e即a≥e﹣1时，h′（x）≤0，h（x）在[1，e]递减， h（x）min=h（e）=e+
﹣a，由h（x）min≥0，得：a≤
，
即e﹣1≤a≤；
②1+a≤1即a≤0时，h′（x）≥0，h（x）在[1，e]递增， h（x）min=h（1）=2+a≥0，解得：a≥﹣2， 此时：﹣2≤a≤0；
③1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，
在[1，a+1）上，h′（x）＜0，h（x）递减， 在（a+1，e]上，h′（x）＞0，h（x）递增， ∴h（x）min=h（a+1）=a+2﹣aln（a+1）， ∵1＜1+a＜e，∴0＜ln（a+1）＜1， ∴a+2﹣aln（1+a）＞a+2﹣a=2＞0， 即h（x）min＞0恒成立， ∴0＜a＜e﹣1符合题意， 综上，a的取值范围是[﹣2，
]．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．
21．（14分）（2016?临沂一模）已知椭圆C1：轴的下端点在抛物线x=4y的准线上．
2
=1（a＞b＞0）的离心率为，其短
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