数学史

可用它来解释.这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的的精髓之所在.

2.1.2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数”

毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究.

毕达哥拉斯学派认为:事物的本原是数.世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用整数或者整数之比表示出来. 这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式. 2.对自然数的分类

? 毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念. ? 一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为完全数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）;

? 一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为亏数，如 12（＜1＋2＋3＋4＋6);

? 一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为盈数,10（＞1＋2＋5）.

? 若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为亲和数.,如220与284为亲和数.因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和为（1＋2＋4＋71＋142＝）220 .

3.对形数的研究

? 毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的.他们常把数以点的形式排成各种图形.如图:

又如

其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2 .由此易得,前n个奇数之和即为n的平方. 4.关于数学美的研究

? 毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，

? 他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动.

? 最完美的数是10，因为10＝1＋2＋3＋4，并将1，2，3，4称为四象. ? 在音乐研究中他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的音就相差8度. 认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的.

他们研究了一些美的比和比例关系，提出了算术平均值（以Ｍ表示）、几何平均值（以Ｇ表示）和调和平均值（以Ｈ表示）：对Ａ，Ｂ为两已知数，

5.关于勾股定理的研究

西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的.据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”.

但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据.

毕达哥拉斯数的探讨:

通过分析正方形数的图形毕达哥拉斯得到 :

6.不可公度的发现

毕达哥拉斯学派相信：在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段，他们称这样的两条线段为“可公度量”，即有公共的度量单位.

2.1.3 芝诺悖论与巧辩学派

1.芝诺悖论

哲学家芝诺（Zeno,约公元前490-430年），针对当时对

无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动.其中关于运动的三个悖论尤为引人注目 (1)二分说

(2)阿基里斯追龟说 (3)飞箭静止说

芝诺的这些悖论已涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念.更重要的是，人们明知

他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题，毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因.

2.巧辩学派所提出的三大著名作图问题

巧辩学派创立、活动于雅典.这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、辩证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者.他们研究的主要目标之一是用数学来探讨宇宙的运转.

该学派的名字与著名的尺规作图不能问题是紧密地联系在一起的.所谓三大尺规作图问题是指:

(1)化圆为方:只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给定的圆面积相等; (2)倍立方:给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者体积两倍于前者体积;

(3)三等分角:即将任一已知角三等分.

围绕这三大作图问题，希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法，许多数学成果都是研究这三个问题的副产品，例如，该学派的头面人物希比亚斯(Hippias，约公元前5世纪)为解决三等分任意角Φ的问题，引入了一条割圆曲线.

希波克拉茨(Hippocrates，公元前5世纪)在探索化圆为方时，成功地解决了一个把曲边图形化为直边图形的问题。

? 希腊学者之所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学有这样的认识：即强调在研究一个概念之前必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理.在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾.这样的思想促进了希腊数学的严密化. ? 2000多年来，三大问题的研究，花费了人们的大量心血.直至1831年，法国数学家万采尔(Vantzal， 1814～1848)首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林德曼(Lindemann， 1852～1939)于1882年又证明了π的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，这三大问题才彻底得以解决.

2.1.4 柏拉图学派

柏拉图(Plato，公元前427～347年),古希腊哲学家和教育家. 曾拜苏格拉底为师,是苏格拉底最杰出的学生，深受苏格拉底逻辑思想

的影响.

公元前399年，因苏格拉底被雅典民主政权处死，柏拉图被迫开始了为期12年的游历生涯.

公元前387年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的学校“ 柏拉图学院”.

柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙，因而特别重视对立体几何的研究.

在苏格拉底逻辑思想的影响下，柏拉图还明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则.从柏拉图时代起，数学就已经有了公理化的思想.

? 柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯(Eudoxus,约公元前4世纪).

? 他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论.

? 进一步完善了安蒂丰的“穷竭法”，将“穷竭法”改造成为一种严格的证明方法.

? 此外，他还研究了“中末比”问题，并用求两个已知量的两个比例中项的方法，解决了立方倍积问题.

欧多克索斯的学生门奈赫莫斯（Menaechmus,公元前4世纪）是圆锥曲线理论的创始人，他在用平面与圆锥的一条母线垂直相截时发现了圆锥曲线：当圆锥顶角为直角时所得截线为抛物线，顶角为锐角时为椭圆，顶角为钝角时为双曲线的一支.他还发现了双曲线的渐近线，并对这些曲线的性质作了系统的阐述，形成了最早的圆锥曲线理论.

? 亚里士多德(Aristotle，公元前384～公元前322). 对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学.

? 他把形式逻辑规范化和系统化，使之上升为一门科学.他提出了矛盾律、排中律等思维的规律；把逻辑学理解为论证的学问；从个别到一般的归纳和从一般到个别的演绎；他还研究了三段论法的格和规则，这些都为数学推理提供了基本的逻辑依据.