专题10 概率与统计
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A．0.5 C．0.7 【答案】C
【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，1个最低分，7个有效评分与9个原始评分相比，从9个原始评分中去掉1个最高分、得到7个有效评分．不变的数字特征是 A．中位数 C．方差 【答案】A
【解析】设9位评委评分按从小到大排列为x1?x2?x3?x4
B．平均数 D．极差
B．0.6 D．0.8
?x8?x9．
?x8，A正确； 中位数仍为x5，
则①原始中位数为x5，去掉最低分x1，最高分x9后剩余x2?x3?x4?②原始平均数x?1(x1?x2?x3?x491?x8?x9)，后来平均数x??(x2?x3?x47?x8)，平均数
受极端值影响较大，?x与x?不一定相同，B不正确； ③S?21[(x1?x)2?(x1?x)2?91?(xq?x)2]，s?2?[(x2?x?)2?(x3?x?)2?7?(x8?x?)2]，由②
易知，C不正确；
④原极差?x9?x1，后来极差?x8?x2，显然极差变小，D不正确．故选A． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
X P 0 1 3
a 1 31 1 3则当a在（0,1）内增大时， A．D(X)增大
B．D(X)减小
D．D(X)先减小后增大
C．D(X)先增大后减小 【答案】D
【分析】研究方差随a变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得E(X)?则D(X)?(1?a， 31?a11?a11?a1211?0)2??(?a)2??(?1)2??(a?)2?， 333333926则当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D．
a21(a?1)22a2?2a?2213方法2：则D(X)?E(X)?E(X)?0?????[(a?)2?]，
33999242则当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D．
【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．
4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】
5 36?7?8?8?9?10?8，
622222【解析】由题意，该组数据的平均数为
所以该组数据的方差是[(6?8)?(7?8)?(8?8)?(8?8)?(9?8)?(10?8)]?1625． 35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10?0.97?20?0.98?10?0.99?39.2，其中高铁个数为10?20?10?40，所以该站所有高铁平均正点率约为
39.2?0.98． 40【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.6?0.5?0.5?2?0.108,前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4?0.6?0.5?2?0.072,综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q?0.108?0.072?0.18.
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
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