（Ⅱ）若x?(1,?)时，不等式f(x)?a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)，如果在函数图象上存在点M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得点M处的切线l//AB，则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地，当x0?x1?x2时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问：当x?e时，对于函2数f(x)图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论。
2??x?2(lnx?1)(x?e)【答案】（Ⅰ）当a?2时，f(x)??，
2??x?2(1?lnx)(0?x?e)2当x?e时，f?(x)?2x?2?2(x?1)?0，∴f(x)在[e,??)上递增。
xx222(x?1)当0?x?e时，由f?(x)?2x???0得：1?x?e，∴f(x)在[1,e)上递增。 xx综上知，f(x)的递增区间为[1,??)。
2(Ⅱ）①当1?x?e时，f(x)?x?a(1?lnx)?a恒成立?
x2x2a?)min。 在(1,e)上恒成立?a?(lnxlnxx(2lnx?1)x2?0，得x?e， (1?x?e)，则当0?x?e时h?(x)?设h(x)?(lnx)2lnx当1?x?e时，h?(x)?0，h(x)递减；当e?x?e时，h?(x)?0，h(x)递增；
∴h(x)最小值是h(e)?2e，∴o?a?2e；
2②当x?e时，f(x)?x?a(lnx?1)，则f?(x)?2x?a?0恒成立，∴f(x)在[e,??)上x2递增，∴f(x)的最小值是f(e)?e，∴f(x)?a恒成立?0?a?e2
综上知，所求a的取值范围是o?a?2e。
(Ⅲ）函数y?f(x)(x?e)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)连线AB不存在“中值伴侣切线”。
2证明如下：当x?e时，f(x)?x?a(lnx?1)，f?(x)?2x?a。 x假设函数y?f(x)(x?e)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)连线AB存在“中
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值伴侣切线”， 则直线AB的斜率kAB?f'(x0)?f'(x1?x2) 22x2?a(lnx2?1)?[x12?a(lnx1?1)]x?x2a ?2?12??x2?x12x1?x2?x2(x2?x1)lnx2?lnx12?? ? ln2?x1x2?x1x2?x1x1?x22(x2?1)x1，
x2?1x1令
x22(t?1)44?t，则t?1，上式化为：lnt?，即lnt??2??2 x1t?1t?1t?114(t?1)24'?若令g(t)?lnt?，g(t)??
t(t?1)2t(t?1)2t?1'由t?1,g(t)?0， ?g(t)在(1,??)上单调递增，g(t)?g(1)?2
这表明在(1,??)内不存在t，使得lnt?4?2 t?1综上所述，函数y?f(x)(x?e)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)连线AB不存在“中值伴侣切线”。
21．设函数y?f(x)的定义域为D，值域为B，如果存在函数x?g(t)，使得函数
y?f(g(t))的值域仍然是B，那么，称函数x?g(t)是函数y?f(x)的一个等值域变
换.（Ⅰ）判断下列x?g(t)是不是y?f(x)的一个等值域变换？说明你的理由；
(A)f(x)?2x?b,x?R，x?t2?2t?3,t?R； (B)f(x)?x2?x?1,x?R，x?g(t)?2t,t?R；
mt2?3t?n(Ⅱ）设f(x)?log的值域B??1,3?，已知x?g(t)?是y?f(x)的一个等
t2?1x2值域变换，且函数y?f(g(t))的定义域为R，求实数m,n的值；
(Ⅲ）设函数y?f(x)的定义域为D，值域为B，函数x?g(t)的定义域为D1，值域为B1，写出x?g(t)是y?f(x)的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．
22x?t?2t?3?(t?1)?2?2，f(x)?2x?b,x?R(A)R【答案】（1）：函数的值域为，
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y?f(g(t))?2[(t?1)2?2]?b?4?b，
所以，x?g(t)不是f(x)的一个等值域变换；
1333f(x)?x2?x?1?(x?)2??[,??)(B)：244，即f(x)的值域为4， 3133f(g(t))?(2t?)2??[,??)244，即y?f(g(t))的值域仍为4当t?R时，，
所以，x?g(t)是f(x)的一个等值域变换； (2）即
f(x)?log2x的值域为[1,3]，由1?log2x?3知2?x?8，
f(x)?log2x定义域为[2,8]，
因为x?g(t)是f(x)的一个等值域变换，且函数f(g(t))的定义域为R，
mt2?3t?nx?g(t)?,t?R2t?1所以，的值域为[2,8]， mt2?3t?n2222??8?2(t?1)?mt?3t?n?8(t?1)2t?1，
所以，
?(m?2)t2?3t?(n?2)?0?2(m?8)t?3t?(n?8)?0，且存在t1,t2?R使两个等号分别成立，于是?恒有
2?m?8????1?9?4(m?2)(n?2)?0???9?4(m?8)(n?8)?0?2，
?33?33m?5?m?5?????22???n?5?33?n?5?33?2或?2 ?解得 ?DB(3）设函数f(x)的定义域为D，值域为B，函数g(t)的定义域为1，值域为1，则x?g(t)B是f(x)的一个等值域变换的充分非必要条件是“D=1”．条件的不必要性的一个例子是． f(x)?x2，D?R，B?[0,??) g(t)?2t?1，D1?R，B1?(?1,??)
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此时D?B1，但f(g(t))?(2t?1)2的值域仍为B?[0,??)， 即g(t)?2t?1(x?R)是
f(x)?x2(x?R)的一个等值域变换。 22．已知：sin230??sin290??sin2150??32 sin25??sin265??sin2125??32 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。 【答案】一般性的命题为sin2(??60o)?sin2??sin2(??60o)?32 1?cos(2??1200)1?cos2?1?cos(2??1200证明：左边?2?2?)2
?3?[cos(2??1200)?cos2??cos(2??1200 2)]?3 2 所以左边等于右边
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