1991年全国高中数学联赛一试题
一．选择题：
1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A．4 B．8 C．12 D．24 a+b－cabc
2．设a、b、c均为非零复数，且==，则的值为( )
bcaa－b+c
A．1 B．±ω C．1，ω，ω2 D．1，－ω，－ω2
3．设a是正整数，a<100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( )
A．4 B．5 C．9 D．10
4．设函数y=f(x)对于一切实数x满足f(3+x)=f(3－x)．且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( )
A．18 B．12 C．9 D．0
5．设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)，x，y∈R}，则( )
A．S??T B．T??S C．S=T D．S∩T=? 6．方程|x－y2|=1－|x|的图象为( )
y1111y11y(12,1)y1(1,1)Ox-12-12O-112x-12O12-1(12x,-1)-12O-1121x(1,-1)A.B.C.D.
二．填空题： 1．cos210°+cos250°－sin40°sin80°= ．
2．在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，并且c－a等于AC边上的高h，则sin
C－A
= ． 2
3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组： {1}， {3，5，7}， {9，11，13，15，17}，…… (第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组．
4．19912000除以106，余数是 ．
5．设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1－z2|=33，则log3|(z1－z2)2000+(－z1z2)2000|= ． 6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX的算术平均值为 ．
三．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比．
·1·
四．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|=a，|PQ|=B．求△OPQ的面积．
五．已知0 1 loga(ax+ay)?loga2+． 8 1991年全国高中数学联赛二试题 一．设S={1，2，…，n}，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后不能构成与A有相同公差的等差数列．求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)． 二．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得1 以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于． 4 三．设an是下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1、3或4．求证：a2n是完全平方数．这里，n=1，2，…． 1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A．4 B．8 C．12 D．24 解：每个正方形的顶点对应着一个正三角形．故选B a+b－cabc 2．设a、b、c均为非零复数，且==，则的值为( ) bcaa－b+c A．1 B．±ω C．1，ω，ω2 D．1，－ω，－ω2 a+b－c1+t2－t1abc322 解：令===t，则a=at．由a≠0得t=1，ω，ω．且1+ω+ω=0．故==．选C． bcaa－b+c1－t2+tt 3．设a是正整数，a<100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( ) A．4 B．5 C．9 D．10 解：即24|a3－1，而a≡0，±1，±2，±3，4，则a3≡0，±1，0，±3，0．故a－1≡0(mod 8)． 若a≡0，1，2(mod 3)，则a3≡0，1，－1(mod 3)，∴ a－1≡0(mod 3)．即a－1≡0(mod 24)．选B． 4．设函数y=f(x)对于一切实数x满足 f(3+x)=f(3－x) 且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( )A A．18 B．12 C．9 D．0 解：该函数图象关于x=3对称．故6个根的和=3×2×3=18．选A． 5．设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)，x，y∈R}，则( ) A．S??T B．T??S C．S=T D．S∩T=? 解：若x2－y2为奇数，则sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)成立，即S?T． ·2· 又若x=y时，sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)也成立，即得S??T，选A． 6．方程|x－y2|=1－|x|的图象为( ) y1111y11y(12,1)y1(1,1)Ox-12-12O-112x-12O12-1(12x,-1)-12O-1121x(1,-1)A.2 2 B.C.2 2 D. 2 x－y=1－x，即y=2x－1(x?y)，???x－y(x?y)，222解：∵ |x－y2|=?2故此方程等价于?y－x=1－x，即y=1 (0?x ?y－x (x 二．填空题： 1．cos210°+cos250°－sin40°sin80°= ． 解 ： 原 式 =(cos10°－ cos50°)2+cos10°cos50°=sin220°++cos10°cos50°= 1 2 (1 － 3 cos40°+cos60°+cos40°)=． 4 2．在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，并且c－a等于AC边上的高h，则sin C－A = ． 2 hh 解：易知h=c－a=－，?sinAsinC=sinC－sinA，由已知，A+C=120°． sinAsinCC－A120?C－AC－A31 ∴ [cos(C－A)－cos120?]=2sincos，即sin2+sin－=0 222224即sin C－AC－A13 =－ (舍去)，sin=． 2222 3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组： {1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…… (第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组． 解：由于1+3+…+(2n－1)=n2，故第n组最后一数为2n2－1，于是解2(n－1)2－1+2?1991?2n2－1，得n=32．即在第32组． 4．19912000除以106，余数是 ． 解：19912000=(1990+1)2000=19902000+…+C2000×19903+C2000×19902+C2000×1990+1 ≡1000×1999×19902+2000×1990+1≡880001(mod 106)．即余数为880001． 5．设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1－z2|=33，则log3|(z1－z2)2000+(－z1z2)2000|= ． ·3· 1997 1998 1999 解：由|z1+z2|2+|z1－z2|2=2(|z1|2+|z2|2)，得|z2|=3．由于|z1|=|z2|=|z1+z2|=3，故argz1－argz2=±120°． ∴|(z1－z2)2000+(－z1z2)2000|=2×34000|cos(120°×2000)|=34000．故log3|(z1－z2)2000+(－z1z2)2000|=4000． 6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX的算术平均值为 ． － 解：对于任一整数n(0 －n－－ 个，以1001－n为最小数的集合则有2n1个，以1001－n为最大数的集合则有21000n个．故n与 －－ 1001－n都出现2n1+21000n次． 11000－－ ∴ 所有αx的和=1001·(2n1+21000n) =1001×(21000－1)． 2n=1 Σ ∴ 所求平均值=1001． 又解：对于任一组子集A={b1，…，bk}，b1 由于每一子集均可配对．故所求算术平均数为1001． 三．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比． 解： PM是PO中点，延长AO与BC交于点D，则D为BC中点，连PD，由于AM在平面PAD内，故延长AM与PD相交，设交点为F．题中截面与面FHGPBC交于过F的直线GH，G、H分别在PB、PC上．由于BC∥截面AGH，M∴GH∥BC． PMOADFPMOA2 在面PAD中，△POD被直线AF截，故··=1，但=1，=， MOADFPMOAD3∴DF3 =． FP2∴ PF2S?PGH4S?PGH4=，∴=?=．而截面分此三棱锥所成两部分可看成是有顶点A的两个棱PD5S?PBC25SHGBC21 AEOBCD锥A—PGH及A—HGBC．故二者体积比=4∶21． 四．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|=a，|PQ|=B．求△OPQ的面积． 2a4a 解：(用极坐标)设抛物线方程为ρ=．设PQ与极径所成角为α，则2α=B． sin1－cosθ11 所求面积S=|OF|·|PQ|sinα=ab·2 22 五．已知0 loga(ax+ay)?loga2+． 8解：由于0 x y a=aab． b 1 ?2a8．由于 a+a xy x+y ?2a2．而 1 x+y=x－x=x(1－x)?．于是a 4 2 x+y2 1?a8 ·4·
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