2积分后得 v?5?t 再由v?dx得 dt?积分后得x?2?5t?t
xx0dx??vdt
0t133将t ＝5ｓ 代入,得v5＝30 m·ｓ-1 和x5 ＝68.7 m 对5ｓ＜t ＜7ｓ 时间段,用同样方法有
?再由 得
vv0dv??a2dt
5s2t得 v?35t?2.5t?82.5t
?xx5dx??vdt
5stx ＝17.5t2 -0.83t3 -82.5t ＋147.87
将t ＝7ｓ代入分别得v7＝40 m·ｓ-1 和 x7 ＝142 m
2 -14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m·ｓ-1 ．求质点在任意时刻的速度和位置．
分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置．
解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有
120t?40?mdv dt依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得
?dv???12.0t?4.0?dt
v00vtv＝6.0+4.0t+6.0t2
又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有
?dx???6.0?4.0t?6.0t?dt
xt2x00x ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3
2 -15 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0 ×103 kg．飞机以55.0 m·ｓ-1 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝5.0 ×102 N·ｓ-1 ,空气对飞机升力不计,求：(1) 10ｓ后飞机的速率；(2) 飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．
分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受制动力F 为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．
解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有
dv??αt dtvtαtdv???v0?0mdt
α2t 得 v?v0?2mF?ma?m因此,飞机着陆10ｓ后的速率为
v ＝30 m·ｓ-1
又
α2??dx?v?dt ??x0?0?02mt??xt故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离
s?x?x0?v0t?α3t?467m 6m2 -16 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy 轴,求：(1) 运动员在水中的速率v与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.40m -1 ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1 /10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)
分析 该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P、浮力F 和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．
解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为
v0?2gh
运动员入水后,由牛顿定律得
P -Fｆ -F ＝ma
由题意P ＝F、Fｆ＝bv2 ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代 入上式后得
-bv2＝ mv (d v /dy)
考虑到初始条件y0 ＝0 时, v0?2gh,对上式积分,有
vdv?m? ??dy???0?v0vb??tv?v0e?by/m?2ghe?by/m
(2) 将已知条件b/m ＝0.4 m -1 ,v ＝0.1v0 代入上式,则得
y??mvln?5.76m bv0 *2 -17 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成．每一叶片的质量m＝136 kg,长l＝3.66 m．求当它的转速n＝320 r/min 时,两个叶片根部的张力．(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片)
分析 螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解．
解 设叶片根部为原点O,沿叶片背离原点O 的方向为正向,距原点O 为r处的长为dr一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为FＴ(r)与FＴ(r＋dr)．叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有
dFT?FT?r??FT?r?dr??由于r ＝l 时外侧FＴ ＝0,所以有
m2ωrdr l?tFT?r?dFT??lrmω2rdr lmω2222πmn222FT?r???l?r??l?r
2ll????上式中取r ＝0,即得叶片根部的张力
FＴ0 ＝-2.79 ×105 N
负号表示张力方向与坐标方向相反．
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