专题六 二次函数与综合应用 年份 2017 2016 2015 考点 题号 分值 难易度 二次函数的图选择题、解答中等题、较难像、二次函数15、26 2＋12＝14 题 题 的实际应用 二次函数的图解答题 26 12 较难题 像和性质 二次函数表达解答题 式的确定及性25 11 较难题 质 纵观河北中考，二次函数几乎都出现在压轴题位置上，且难度大，但第(1)、(2)小问还是比较容易得分的，而最后一问很难做对．此专题就是针对它设计的，在复习时要鼓励学生尽量做好第(1)、(2)小问甚至第(3)问．预测2018年可能还出现在压轴题的位置上. 题型 命题规律 解题策略
此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第(1)(2)两问比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢分．
,重难点突破)
二次函数的实际应用
【例1】(2016石家庄中考模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20
2
元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w＝ax＋bx－1 600，当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元．
(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式； (2)当销售价定为24元/kg，该产品每天的销售利润为多少元？
(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？
2
【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x＋120x－1 600中计算所
22
得利润；(3)将w＝150代入w＝－2x＋120x－1 600＝150中计算出定价；(4)由二次函数表达式可知w＝－2x＋
2
120x－1 600＝－2(x－30)＋200，所以当x＝29时利润最大．
2
【答案】解：(1)依题意，把(22，72)，(26，168)代入w＝ax＋bx－160，得
2
???72＝a×22＋b×22－1 600，?a＝－2，?解得? 2
?168＝a×26＋b×26－1 600.?b＝120.??
2
∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为w＝－2x＋120x－1 600；
2
(2)当x＝24时，有w＝－2×24＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为128元；
2
(3)当w＝150时，有w＝－2x＋120x－1 600＝150.解得x1＝25，x2＝35.∵x≤32，∴x＝25.∴定价为25元/kg；
22
(4)w＝－2x＋120x－1 600＝－2(x－30)＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，当
2
x≤29时，w随x的增大而增大，∴当x＝29元时，利润最大，为w＝－2(29－30)＋200＝198(元)．
【方法指导】
正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．
1．(2016张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y1(t)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2(t)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图②所示.
(1)求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并直接写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
(2)设国内、国外市场的日销售总量为y t，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t?
(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．
???a＝－，900a＋30b＝0，?25 ?解：(1)设y1＝at＋bt，把点(30，0)和(20，40)代入得，解得?
?400a＋20b＝40.??
?b＝6.
12
∴y1＝－t＋6t(0≤t≤30，t为整数)．
5
设y2＝kt＋b，当0≤t<20时，y2＝2t，
??20k＋b＝40，
当20≤t≤30时，?
?30k＋b＝0.?
??k＝－4，解得?
??b＝120，??2t（0≤t<20，且t为整数），∴y2＝?
?－4t＋120（20≤t≤30，且t为整数）；?
(2)由y＝y1＋y2，得
12
－t＋8t（0≤t<20，且t为整数），5
y＝
12
－t＋2t＋120（20≤t≤30，且t为整数）.5
由图像可知，销售第20天，y＝80， ∴y＝75时，t＜20，
122
即－t＋8t＝75，t－40t＋25×15＝0，解得：t1＝15，t2＝25>20(舍)．
5
即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t；
1212
(3)当0≤t＜20时，y＝－t＋8t＝－ (t－20)＋80.
55
此时，y随t的增大而增大．
1
?????
1212∵t为整数， ∴当t＝19时，y最大，为79.8 t．当20≤t≤30时，y＝－t＋2t＋120＝－(t－5)＋
55
125.∵当t＞75时，y随t的增大而减小，
∴当t＝20时，y的最大，为80 t.
综上所述，上市后第20天国内、国外市场日销售总量y值最大，最大值为80 t.
【方法指导】
先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题．
二次函数图像综合问题
1
【例2】(2016河北中考)如图，抛物线L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常数t＞0)与x轴从左到右的交点为B，
2k
A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝(k＞0，x＞0)于点P，且OA·MP＝12.
x
(1)求k值；
(2)当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
(3)把L在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图像G最高点的坐标；
(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值
范围．
【解析】(1)设点P(x，y)，只要求出xy即可解决问题；(2)先求出A，B两点的坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题；(3)根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L与MP的交点就是最高点；(4)画出图形求出C，D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．
【答案】解：(1)设点P(x，y)，则MP＝y，OM＝x.OA＝2x.∵OA·MP＝12， M是OA的中点，∴2x·y＝12，即xy＝6； ∴k＝xy＝6.
1
(2)当t＝1时，令y＝0，即0＝－(x－1)(x＋3)，
2
解得x＝1或－3. ∵点B在点A左边，
∴B(－3，0)，A(1，0)． ∴AB＝4，
1
∴L的对称轴是直线x＝－1，M的坐标为(，0)，
2
13∵－(－1)＝， 22
3
∴MP与L对称轴之间的距离为；
2
(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)， ∴L的对称轴为直线x＝t－2.
?t?又∵M?，0?， ?2?
t
当t－2≤，即t≤4时，顶点(t－2，2)就是G的最高点；
2
当t＞4时，L与MP的交点为最高点．
1
y＝－（x－t）（x－t＋4），
2
联立
tx＝，2tx＝，2
解得 2
t
y＝－＋t.
8
2
tt??即此时的最高点为?，－＋t?；
8?2?
??
????????
(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋2.
2
2．(2017天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.
(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数表达式；(其中k，b用含a的式子表示)
5
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
4
(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
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