绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学（一）
注意事项：
号1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
位封座2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。
密 3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
号不场一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合考 题目要求的．
1．复数z?a?i?a?R?的共轭复数为z，满足z?1，则复数（ ） 订 A．2?i B．2?i
C．1?i
D．i
【答案】D
【解析】根据题意可得，z?a?i，所以z?a2?1?1，解得a?0，所以复数z?i．
装 号证考2．集合A=?????0,??1＜sin?≤1??，B????????1??，则集合准??4?AIB?（ ）
?2 只 A．? ? ???4?????2??
B．???????1??
C．??????????6?D．??62??
????4???1???
【答案】D
卷 【解析】A=?? ????0,??12＜sin?≤1????5??????????6???6?，?AIB????4???1??．
名姓3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究， 此 它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻 子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对） 的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） 级班A．
14 B．13
C．
233 D．
4 【答案】C
【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4?3?12种，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为?A,a?，
?a,A?，?B,b?，?b,B?，共计4种，
所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为1?4212?3． 4．已知函数f?x??2sin??x???的图象向左平移
?6个单位长度后得到函数y?sin2x?3cos2x的图象，则?的可能值为（ ）
A．0 B．
???6 C．
3 D．
12 【答案】A
【解析】将函数y?sin2x?3cos2x?2sin??2x????3???的图象向右平移6个单位长度，可得y?2sin???2???x?????6???3??2sin2x的图象，所以??0．
?5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为（ ） A．2?106枚
B．2.02?106枚
C．2.025?106枚
D．2.05?106枚
【答案】B
【解析】由题意可知，构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，
则和为S=40??70+31?2=2020缗，这一堆铜钱的数量为2020?1000?2.02?106枚．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
正视图
侧视图
A．2?π B．1+π
C．2+2π
D．1?2π
【答案】A
【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，
V?1?1?2?12?π?12?2?2?π．
7．如图的程序框图，当输出y?15后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A．x≤1
B．x≤2
C．x≤3
D．x≤4
【答案】C
【解析】当x??3时，y?3；当x??2时，y?0；当x??1时，y??1；当x?0时，y?0；当x?1时，y?3；当x?2时，y?8；当x?3时，y?15； 所以y的最大值为15，可知x≤3符合题意．
8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）
A．y?x2x B．y?2x?2
C．y?ex?x
D．y?2|x﹣|x2
【答案】D
【解析】对于A，函数f?x??x2x，当x?0时，y?0，x?0时，y?0，不满足题意；对于B，当x?0时，f?x?递增，不满足题意；对于C，当x?0时，f?x??0，不满足题意；故选D．
9．若双曲线C：x2y223a2?b2?1?a?0,b?0?的一条渐近线被抛物线y?4x所截得的弦长为2，
则双曲线C的离心率为（ ） A．
14 B．1 C．2 D．4
【答案】C
x2y2【解析】双曲线C：a2?b2?1?a?0,b?0?的一条渐近线方程不妨设为：bx?ay?0，与抛物
?线方程联立，??bx?ay?0，消去y，得4ax2?bx?0，所以??x1?x2??b4a，所以所截得的弦长
?y?4x2??x1x2?0?b2为??1???b2?3bc3a2??，化简可得??16a2???24a2?2，bc?23a2，?c2?a2?c2?12a4，e4?e2?12?0，得e2?4或-3（舍），所以双曲线C的离心率e?2．
10．若x?2是函数f?x???x2?2ax?ex的极值点，则函数y?f?x?的最小值为（ ） A．?2?22?e?2 B．0
C．?2?22?e2 D．?e
【答案】C
【解析】f?x???x2?2ax?ex，∴f??x???2x?2a?ex??x2?2ax?ex???x2?2?1?a?x?2a??ex，
由已知得，f??2??0，∴2?22?2a?22a?0，解得a?1．
∴f?x???x2?2x?ex，∴f??x???x2?2?ex，所以函数的极值点为?2，2，当x???2,2?时，
f?(x)?0，所以函数y?f?x?是减函数，当x????,?2?或x??2,???时，f??x?＞0，函数
y?f?x?是增函数．又当x????,0?U?2,+??时，x2?2x?0，f?x?＞0，当x??0,2?时，
x2?2x?0，f?x??0，∴f?x?min在x??0,2?上，又当x??0,2?时，函数y?f?x?递减，当
x??2,2?时，函数y?f?x?递增，∴f?x?min?f?2???2?22?e2．
11．点M?x,y?在曲线C:x2?4x?y2?21?0上运动，t?x2+y2?12x?12y?150?a，且t的最大值
为b，若a，b?R?，则1a?1?1b的最小值为（ ） A．1 B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】曲线C:x2?4x?y2?21?0可化为?x?2?2?y2?25，表示圆心在A?2,0?，半径为5的
圆，t?x2+y2?12x?12y?150?a?(x?6)2?(y?6)2?222?a，(x?6)2?(y?6)2可以看作点M到点N??6,6?的距离的平方，圆C上一点M到N的距离的最大值为AN?5，即点M是直线AN与
圆C的离点N最远的交点，所以直线AN的方程为y??34?x?2?，
?联立??y??34?x?2?，解得???x1?6?x2??2?x?y??3或?y?3（舍去），当?6时，t取得最大值，则
??x?2?2?y2?25?1?1?y??3t22max?(6?6)?(?3?6)?222?a?b，所以a?b?3，所以?a?1??b?4，
1a?1?1b?1?4?1?a?1?1?b?????a?1??b???1?ba?1?4??a?1?b?2??≥1， 当且仅当
ba?1a?1?b，??a?1?b?2时取等号． 12．已知函数y?f?x?为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g?x??f?x?5??x，数列
?an?为等差数列，且公差不为0，若g?a1??g?a2??L?g?a9??45，
则a1?a2?L?a9?（ ） A．45 B．15
C．10
D．0
【答案】A
【解析】由函数g?x??f?x?5??x，所以g?x??5?f?x?5??x?5， 当x?5时，g?5??5?f?5?5??5?5?f?0?，
而函数y?f?x?为定义域R上的奇函数，所以f?0??0，所以g?5??5?0； 由g?a1??g?a2??L?g?a9??45，得??g?a1??5?????g?a2??5???L???g?a9??5???0， 由函数y?f?x?为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数， 可知y?g?x??5关于?5,0?对称，且在R上是单调递增函数，
由对称性猜想g?a5??5?0，下面用反证法说明g?a5??5?0， 假设g?a5??5?0，知a5?5，则a1?a9?10，a2?a8?10，
由对称性可知??g?a1??5?????g?a9??5???0，??g?a2??5?????g?a8??5???0，
， 则??g?a1??5?????g?a2??5???L???g?a9??5???0与题意不符，故g?a5??5?0不成立； 同理g?a5??5?0也不成立， 所以g?a5??5?0，所以a5?5，
根据等差数列性质，a1?a2?L?a9?9a5?45．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
?2x?y≤013．已知变量x、y满足??x?3y?5≥0，则z??2x?y的最小值为_______．
??x≥0【答案】?4
【解析】根据约束条件画出可行域，直线z??2x?y过点A?1,2?时，z取得最小值是?4．
14．已知????ππ????sin2??4,3??，????2,???，满足sin??????sin??2sin?cos?，则sin(???)的最
大值为________． 【答案】2 【解析】因为sin??????sin??2sin?cos?， 所以sin?cos??cos?sin??sin??2sin?cos?，
所以cos?sin??sin?cos??sin?，即sin??????sin?， 因为????π,π??????43?，????2,???，所以??2?，
则
sin2?sin2?2sin?cossin(???)?sin???sin??2cos?，
因为????π?4,π?sin2?3?，所以2cos?????1,2??，所以sin(???)的最大值为2．
15．已知正方形ABCD的边长为1，P为面ABCD内一点，则?uuPAr?uuPBr???uuPCur?uuPDur?的最小值为
____________． 【答案】?1
【解析】建立如图所示的坐标系，以B为坐标原点， 则A?0,1?，B?0,0?，C?1,0?，D?1,1?，设P?x,y?，
则uPAur=??x,1?y?，uPBur=??x,?y?，uPCuur=?1?x,?y?，uPDuur??1?x,1?y?，
?uuPAr+uuPBr???uuPCur+uuPDur?=??2x,1?2y???2?1?x?,1?2y???1?2y?2?4?1?x?x
??1?2y?2??2x?1?2?1，
当x?1u2，y?12时，?PAur+uPBur???uPCuur+uPDuur?的最小值为?1．
A D P B C x
16．如图，在四边形ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB=2，?BAD=?2，
?CBD=?2，沿BD把△ABD翻折起来，形成二面角A?BD?C，且二面角A?BD?C为??6，
此时A，B，C，D在同一球面上，则此球的体积为___________．
【答案】
2053? 【解析】由已知可知BC=BD=2，△BCD、△ABD的外接圆圆心分别为CD、BD的中点E、F，分别过E、F作△BCD、△ABD所在平面的垂线，垂线的交点O即为球心，由已知可知?AFE即为二面角A?BD?C的平面角，所以?AFE?5?6，又?OFA??2，所以?OFE??3，EF?12BC?1，所以OE?EF?tan?3?3，所以R?OC?OE2?CE2?5，
所以V?43?R3?2053?．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinA?sinB?3sinC，（1）若cos2A?sin2B?cos2C?sinAsinB，求sinA?sinB的值， （2）若c?2，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1）32；（2）2． 【解析】（1）∵cos2A?sin2B?cos2C?sinAsinB，
∴1?sin2A?sin2B?1?sin2C?sinAsinB，······1分
∴sin2A?sin2B?sin2C??sinAsinB，······2分
∴a2?b2?c2??ab，······3分
相关推荐：
loading