2020高考数学一轮复习第5章数列第4讲数列求和学案

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第4讲数列求和学案

板块一 知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点 数列求和的六种方法

1．公式法 2．分组求和法 3．倒序相加法 4．并项求和法 5．裂项相消法 6．错位相减法

[必会结论]

常见的拆项公式

(1)＝－； (2)＝； (3)＝－.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.( )

(2)当n≥2时，＝.( )

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据

错位相减法求得．( (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数

列{an}的通项公式是an＝.( 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．[2018·长沙模拟]已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1

＋a2＋…＋a10等于( A．15 B．12 C．－12 D．－15

答案 A

)

)

)

2019年

解析 ∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋

28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.

3．[2018·吉林模拟]数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的

前10项之和为( ) A. B. C. D.12

答案 B

解析 bn＝＝＝－， S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝－＋－＋－＋…＋－＝－12

＝.故选B.

4．[课本改编]数列1，，2，，4，，…的前2n项和S2n＝________.

答案 2n－2n

解析 S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋＝2n－1＋1－＝2n－.

5．[2018·南京模拟]已知an＝，设bn＝，记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝

________. 答案

错误!

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解析 bn＝n·3n，

于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，① 3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，② ①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，

即－2Sn＝－n·3n＋1， Sn＝·3n＋1－·3n＋1＋＝.板块二 典例探究·考向突破 考向 分组转化法求和

例 1 [2016·北京高考]已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3

＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

解 (1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，

2019年

所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27. 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，

所以1＋13d＝27，即d＝2， 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，

因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，

从而数列{cn}的前n项和

Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 触类旁通

分组转化求和通法

若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分

解转化．

【变式训练1】 [2018·西安模拟]已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

∵n＝1时，a1＝1符合上式， 故数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝

n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

考向 裂项相消法求和

命题角度1 形如an＝ 型

例 2 [2018·正定模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若d，

S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d