专题复习检测
A卷
1．(2019年天津)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( ) A．a＜c＜b C．b＜c＜a 【答案】A
1
【解析】a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝log1 ＝log25＞log24＝1，c＝0.50.2＜1，所以b最大．因
5
2
B．a＜b＜c D．c＜a＜b
5111?51115?0.2
为a＝log52＝，c＝0.5＝?2? ＝＝.而log25＞log24＝2＞2，所以＜，log2525log255
22即a＜c.故选A．
2x＋2＋a，x≤1，??
2．(2019年甘肃白银模拟)若函数f(x)＝?1有最大值，则a的取值范围
??log2?x＋1?，x>1为( )
A．(－5，＋∞) C．(－∞，－5) 【答案】B
【解析】易知f(x)在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，要使f(x)有最大值，则f(1)＝4＋a≥log1 (1＋1)＝－1，解得a≥－5.
2
1
B．[－5，＋∞) D．(－∞，－5]
3．(2018年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) C．y＝ln(1＋x) 【答案】B
【解析】y＝ln x的图象与y＝ln(－x)的图象关于y轴即x＝0对称，要使新的图象与y＝ln x关于直线x＝1对称，则y＝ln(－x)的图象需向右平移2个单位，即y＝ln(2－x)．
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则( ) A．a<－1 1
C．a>－
e【答案】A
B．a>－1 1
D．a<－
eB．y＝ln(2－x) D．y＝ln(2＋x)
【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex
＋a＝0有大于零的解．∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
5．(2019年云南玉溪模拟)函数f(x)＝x2ln x的最小值为( ) 1A．－
e1C．－
2e【答案】C
1
【解析】由f(x)＝x2ln x，得定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)．令f′(x)
x＝0，得x＝e
1－2
1
B．
e1D．
2e
.当0
1－2
12－1
－2
增．所以当x＝e
1
时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(e )＝－2e.故选C．
1－2
6．(2019年贵州遵义模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6x，则f(919)＝________.
【答案】6
【解析】由f(x＋4)＝f(x－2)，可得f(x＋6)＝f(x)，则f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.
7．(2019年广东模拟)已知曲线f(x)＝aex＋b(a，b∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________.
【答案】3
【解析】由f(x)＝aex＋b，得f′(x)＝aex.因为曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x
－
???f?0?＝a＋b＝1，?a＝2，＋1，所以?解得?所以a－b＝3.
f′?0?＝a＝2，b＝－1.????
8．定义在R内的可导函数f(x)，已知y＝2f
′(x)
的图象如图所示，则y＝f(x)的减区间是______．
【答案】(2，＋∞)
【解析】令f′(x)<0，则y＝2f
(2，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝xex－ax2－x.
(1)若f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，求f(x)的极小值；
′(x)
<1，由图知，当x>2时，2f
′(x)
＜1，故y＝f(x)的减区间是
(2)若x≥0时，恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，∴f′(－1)＝0. 1
∵f′(x)＝(x＋1)ex－2ax－1，∴2a－1＝0，a＝. 2∴f′(x)＝(x＋1)ex－x－1＝(x＋1)(ex－1)．
∴f(x)在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，f(x)的极小值为f(0)＝0.
(2)f(x)＝x(ex－ax－1)，令g(x)＝ex－ax－1，则g′(x)＝ex－a， 若a≤1，则x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数， 而g(0)＝0，∴当x≥0时，g(x)≥0.从而f(x)≥0. 若a>1，则x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数， g(0)＝0，当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，从而f(x)<0. 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．
10．(2019年江苏节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值． 【解析】(1)若a＝b＝c，则f(x)＝(x－a)3. 由f(4)＝8，得(4－a)3＝8，解得a＝2. (2)若a≠b，b＝c，f(x)＝(x－a)(x－b)2. 令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.
f′(x)＝(x－b)2＋2(x－a)(x－b)＝(x－b)(3x－b－2a)． 2a＋b
令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
3
f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{－3,1,3}中， 2a＋b5
若a＝－3，b＝1，则＝－?A，舍去．
332a＋b1
若a＝1，b＝－3，则＝－?A，舍去．
332a＋b
若a＝－3，b＝3，则＝－1?A，舍去．
3
2a＋b7
若a＝3，b＝1，则＝?A，舍去．
332a＋b5
若a＝1，b＝3，则＝?A，舍去．
332a＋b
若a＝3，b＝－3，则＝1∈A.
3
∴f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)． 易知x＝1时，f(x)取得极小值－32.
B卷
15
11．(2019年甘肃兰州模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)＋2>0，f(2)＝，则
x21
关于x的不等式f(ln x)>＋2的解集为( )
ln x
A．(1，e2) C．(e，e2) 【答案】D
11
【解析】设g(x)＝f(x)－(x>0)，则g′(x)＝f′(x)＋2>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单
xx111
调递增．由f(ln x)>＋2，可得f(ln x)－>2，又g(2)＝f(2)－＝2，所以待解不等式等价于
ln xln x2解g(ln x)>g(2)．所以ln x>2，解得x>e2.故选D．
a
2x－x?在[0,1]上单调递增，则a的取值12．(2018年江西师大附中月考)已知函数f(x)＝?2??范围为________．
【答案】[－1,1]
a
t－?在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]【解析】令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝??t?a
t－?，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a，＋∞)，此上单调递增显然成立；当a>0时，y＝??t?aa
t－?＝t－，时a≤1，即0 －a≤1，即－1≤a<0时成立．综上，a的取值范围是[－1,1]． －a， B．(0，e2) D．(e2，＋∞) 1 13．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x. x(1)讨论f(x)的单调性； f?x1?－f?x2? (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证： x1－x2 x2－ax＋11a 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2－1＋＝－. xxx2①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②若a>2，令f′(x)＝0得，x＝a＋< a2－4 . 2 a－ a2－4a＋a2－4a－a2－4 或x＝，易得0<222 ?a－a2－4??a＋a2－4? 当x∈?0，?∪?，＋∞?时，f′(x)<0； 22???? ?a－a2－4a＋a2－4??a－a2－4? 当x∈??时，f′(x)>0.所以f(x)在?0，?，， 222?????a＋a2－4??a－a2－4a＋a2－4?上单调递减，在????上单调递增． ，＋∞， 222???? (2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1 x1x2x1－x2x1－x2x1－x2x1－x2 －2ln x2f?x1?－f?x2?1 2＋a，所以 1x2x1－x2－x2x2 1 设函数g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，则当x∈ x(1，＋∞)时，g(x)<0. f?x1?－f?x2?1 所以－x2＋2ln x2<0，即 x2x1－x2
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