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由于方程
GM / c2
r=（1） acosφ + a2 ( 1 + sin2φ)
是φ的偶函数，光线关于极轴对称．光线在坐标原点左侧的情形对应于a＜0 ；光线在坐标原点右侧的情形对应a＞0 ．右图是a＜0的情形，图中极轴为 Ox ，白矮星在原点O 处．在式（1）中代入近星点坐标r =rm，φ= π，并注意到a2
2
y
S
| a | ，有文档来自于网络搜索
a≈－GM / crm ．（2）
r rm
φ O
x
经过白矮星两侧的星光对观测者所张的视角θS 可以有不同的表达方式，相应的问题有不同的解法．
解法一：若从白矮星到地球的距离为 d ，则可近似地写出
θS≈2rm / d． （3）
在式（1）中代入观测者的坐标 r =d ，φ= －π/ 2，有
a2≈GM / 2c2d．（4）
由（2）与（4）两式消去 a ，可以解出
rm =2GMd / c2．（5）
把式（5）代入式（3）得
θS≈8GM / c2d ； （6）
E
22
即 M≈θScd / 8G ， （7）文档来自于网络搜索 其中d= 3.787×1017 m ；代入数值就可算出
M≈2.07 ×1030kg ．（8）
解法二：光线射向无限远处的坐标可以写成
πθ
r→∞，φ= － + ．（9）
22
近似地取θS≈θ，把式（9）代入式（1），要求式（1）分母为零，并注意到θ
aθ / 2 + 2a2= 0 ．
所以 θS≈θ=－4a = 8GM / c2d ，（10）
其中用到式（4），并注意到a＜0 ．式（10）与式（6）相同，从而也有式（8）．
解法三：星光对观测者所张的视角 θS 应等于两条光线在观测者处切线的夹角，有
△φθS△(rcosφ)
sin= = cosφ－rsinφ ．（11）文档来自于网络搜索 2△r△r
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1，有
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由光线方程（1）算出△φ/△r，有
θSGM / c2GMsin =cosφ－rsinφ2= cosφ－2；文档来自于网络搜索 2rasinφcra
代入观测者的坐标r =d ，?= －π/ 2以及 a 的表达式（4），并注意到θS 很小，就有
2GMθS≈2cd
2c2d = GM
8GM ，c2d
文档来自于网络搜索 与式（6）相同．所以，也得到了式（8）．
解法四：用式（2）把方程（1）改写成
GM
－rm = rcosφ－2 [ (rcosφ )2 + 2 (rsinφ)2 ] ，文档来自于网络搜索 crmr
即 x = －rm+
GM
( x2 +2y2 )．（12）文档来自于网络搜索 2crmr
当y→－∞时，式（12）的渐近式为
x = －rm－2GM
y． c2rm
这是直线方程，它在x 轴上的截距为－rm，斜率为
111
≈≈－．2θS / 2 －2GM/crm －tan ( θS / 2 )
文档来自于网络搜索 于是有θS ≈4GM/c2rm．rm用式（5）代入后，得到式（6），从而也有式（8）．
七、
1．（I）氦原子中有两个电子，一级电离能E+是把其中一个电子移到无限远处所需要的能量满足He + E+→He++ e．为了得到氦原子的一级电离能E+ ，需要求出一个电子电离以
－
后氦离子体系的能量E*．这是一个电子围绕氦核运动的体系，下面给出两种解法．文档来自于网络搜索 解法一：在力学方程
=
中，r 是轨道半径，v 是电子速度．对基态，用玻尔量子化条件（角动量为）可以解出
r0 =
于是氦离子能量
2
E* =0,2m)－ = －
22/ 2ke2m． （1）
)，（2）文档来自于网络搜索 其中p0为基态电子动量的大小；代入数值得
E* = － ke2 )2mc2,(c)2)≈－54.4 eV ． （3）文档来自于网络搜索 由于不计电子间的相互作用，氦原子基态的能量E0 是该值的2倍，即
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E0 =2E*≈－108.8 eV ． （4）
氦离子能量E*与氦原子基态能量E0之差就是氦原子的一级电离能
E+ =E*－E0= －E*≈ 54.4 eV ． （5）
解法二：氦离子能量
E*= － ．
把基态的角动量关系rp=代入，式（3）可以改写成
E* =
2,2mr2)－=
2,2m) ( －
2))2－
2)．文档来自于网络搜索 因基态的能量最小，式（4）等号右边的第一项为零，所以半径和能量
r0 =
2,2ke2m) ，E*=－
2)
分别与（1），（2）两式相同．
（II）下面，同样给出求氦原子基态能量E0和半径r0的两种解法． 解法一：利用力学方程
= －2r )2) =
文档来自于网络搜索 和基态量子化条件 rmv =，可以解出半径
r0 = 4
于是氦原子基态能量
2
E0 = 2 (0,2m) － ) + = －
22/7ke2m ，（6）
)； （7）文档来自于网络搜索 代入数值算得
E0 =－ ke2 )2mc2,16(c)2)≈－83.4 eV ， （8）文档来自于网络搜索 r0 = (c)2,7ke2mc2)≈0.0302 nm ．
所以，氦原子的一级电离能
E+ =E*－E0≈ 29.0 eV ． （9）
这仍比实验测得的氦原子一级电离能 24.6 eV 高出 4.4 eV ． 解法二：氦原子能量
E = 2 ( － ) + =
可以化成
E =
22,mr2)－文档来自于网络搜索 ,m)( －
2))2 －
2) ．文档来自于网络搜索 当上式等号右边第一项为零时，能量最小．由此可知，基态能量与半径
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E0 =－
2) ， r0=
2,7ke2m)
分别与（7），（6）两式相同．
2．（I）粒子从下部射向并穿过铅板向上运动，其电荷为正．
（II）如题图所示，粒子的运动速度 v 与磁场方向垂直，洛伦兹力在纸面内；磁力不改变荷电粒子动量的大小，只改变其方向．若不考虑云室中气体对粒子的阻力，荷电粒子在恒定磁场作用下的运动轨迹就是曲率半径为一定值的圆弧；可以写出其运动方程文档来自于网络搜索 qBv=||= ?,△t)= ，（1）文档来自于网络搜索 其中 q 是粒子电荷，v是粒子速度的大小，p是粒子动量的大小，△? 是粒子在△t 时间内转过的角度，r 是轨迹曲率半径．于是有文档来自于网络搜索 p=qBr ．（2）
按题意，q=e ．用pd 和pu 分别表示粒子射入铅板和自铅板射出时动量的大小，并在式（1）中代入有关数据，可以算得文档来自于网络搜索 pd=63.0MeV / c ，pu= 22.8MeV / c．（3）
注意到当pc
mc2 时应使用狭义相对论，从
p=/ c)2))．（4）
中可以得到
v=/ p)2 ))． （5）文档来自于网络搜索 用vd 和vu分别表示粒子进入和离开铅板时的速度大小．把式（2）以及 m = 0.511 MeV / c2 代入式（3），可得文档来自于网络搜索 vd ≈c ，vu≈c． （6）
于是，粒子穿过铅板的平均速度 v= ( 1 / 2 ) ( vd+vu)≈c ．用△t 表示粒子穿过铅板的时间，则有文档来自于网络搜索 vcosθ△t = d ． （7）
再用△pdu表示粒子穿过铅板动量改变量的大小，铅板所受到的平均力的大小
f= = / (vcosθ))≈pd－pu)ccosθ,d)； （8）文档来自于网络搜索 代入有关数值得
f ≈1.04×109N ．（9）
－
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（III）一个粒子穿过铅板的时间
△t = vcosθ)≈ccosθ)≈2.07 ×10
－11
s = 0.0207 ns，（10）文档来自于网络搜索 比粒子束流的脉冲周期?= 2.50 ns 小得多．铅板在此脉冲粒子束穿过期间所受的力的平均大小
F ≈( pd－pu ) j； （11）
代入数据得
F=0.107 N ．（12）
运用式（4），可把粒子能量写成
E=m2c4 )，（13）
所以粒子穿过铅板前后的能量分别为
2222424Ed=2c+ mc )= 63.0 MeV ，E=c+ mc )= 22.8 MeV．（14）文档来自于网络搜索 udu
于是，铅板在脉冲粒子束穿过期间所吸收的热量
Q = ( Ed－Eu ) j?； （15）
代入数据得
Q = 8.04 ×102 J． （16）文档来自于网络搜索 －
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