FIR数字滤波器设计要点

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3. 滤波器的设计

3.1 窗函数法

设计FIR数字滤波器的最简单的方法是窗函数法，通常也称之为傅立叶级数

jw法。FIR数字滤波器的设计首先给出要求的理想滤波器的频率响应Hd(e),设计一jw个FIR数字滤波器频率响应H(ejw)，去逼近理想的滤波响应Hd(e)。然而，窗函jw数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的，因而必须由理想的频率响应Hd(e)推

导出对应的单位取样响应hd(n)，再设计一个FIR数字滤波器的单位取样响应h(n)去逼近hd(n)。设计过程如下：

IDTFFT*w(n)DTFTj?j?H(e)????h(n)????h(n)????H(e) d（3-1-1） d 加窗的作用是通过把理想滤波器的无限长脉冲响应hd(n)乘以窗函数w(n)来产生一个被截断的脉冲响应，即h(n)?hd(n)w(n)并且对频率响应进行平滑。FIR滤波器单位冲激响应h(n)：其单位冲激响应h(n)是有限长(

H(z)??h(n)z?n

n?0N?1),系统函数为：

(3-1-2)

在有限Z平面有(N-1)个零点，而它的(N-1)个极点均位于原点z=0处。FIR滤波器线性相位的特点：如果FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，而且满足以下任一条件：

偶对称h(n)＝h(N-1-n) 奇对称h(n)＝-h(N-1-n) 其对称中心在n＝(N-1)/2处，则滤波器具有准确的线性相位。

窗函数主要用来减少序列因截断而产生的Gibbs效应。但当这个窗函数为矩形时，得到的FIR滤波器幅频响应会有明显的Gibbs效应，并且任意增加窗函数的长度（即FIR滤波器的抽头数）Gibbs效应也不能得到改善。为了克服这种现象,窗函数应该使设计的滤波器：

（1） 频率特性的主瓣宽度应尽量窄,且尽可能将能量集中在主瓣内； （2） 窗函数频率特性的旁瓣ω趋于π 的过程中，其能量迅速减小为零。 在实际工程中常用的窗函数有五种，即矩形窗、三角窗、汉宁窗、海明窗和

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凯泽窗。这些窗函数在MATLAB中分别用boxcar、triang、hanning、hamming、kaiser实现，它们之间的性能比较如表1所示。

表1 5种窗函数性能比较 窗类型 矩形窗 三角窗 汉宁窗 海明窗 凯泽窗 旁瓣峰值 13dB 25dB 31dB 41dB 57dB 主瓣峰值 4π/M 8π/M 8π/M 8π/M 12π/M 最小阻带衰减 21dB 25dB 44dB 53dB 74dB 3.2频率采样法

频率采样法是从频域出发,根据频域采样定理，对给定的理想滤波器的频率响应H(ejw)加以等间隔的抽样 ，得到hd(k)：

jw Hd(k)?Hd(e)w?(2?)kN k=0,1,?,N-1 （3-2-1）

再利用Hd(k)可求得FIR滤波器的系统函数H(Z)及频率响应H(ejw)。

而在各采样点间的频率响应则是其的加权内插函数延伸叠加的结果。但对于一个无限长的序列，用频率采样法必然有一定的逼近误差,误差的大小取决于理想频响曲线的形状, 理想频响特性变换越平缓, 则内插函数值越接近理想值,误差越小。为了提高逼近的质量，可以通过在频率相应的过渡带内插入比较连续的采样点，扩展过渡带使其比较连续，从而使得通带和阻带之间变换比较缓慢，以达到减少逼近误差的目的。

选取w∈[0,2π]内N个采样点的约束条件为：

?H(k)?H(N?k)

?(m)??(N?m)0?k ?N?1 （3-2-2）

（1）增大阻带衰减三种方法：

1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 2）过渡带的优化设计

利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近

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（而不是盲目地设定一个过渡带值）。

3）增大N。如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。代价是滤波器阶数增加，运算量增加。

直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值，但是截止频率难以控制。

典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度。

3.3切比雪夫逼近法

Chebyshev方法是最佳一致逼近法。该方法在数字信号处理中占有重要的地位，是设计FIR滤波器理想的方法。但是，该方法的原理较为复杂。数字滤波器频域设计的最优方法是等波纹切比雪夫法，是采用最大误差最小准则得到最优数字滤波器，而且其最优解唯一。最优设计实际上是调节FIR滤波器Z域零点的分布，使得

j?j?实际滤波器的频域响应Ae(e)和理想滤波器的频域响应Hd(e)之间的最大绝对

误差最小。对于I型FIR数字滤波器，其频响可表示为：

Ad(e)?he(0)??2he(n)cos(?n) (3-3-1)

j?n?1L其中，he(n)为滤波器系数，L = M/2, M为滤波器阶数。我们将研究对于设计具有广义线形相位的FIR滤波器特别有效且广泛使用的算法Parks-McClellan算法。该算法的基础是将滤波器的设计问题用公式表示成多项式逼近问题。该算法将滤波器阶数L、带沿频率?p和?s，以及通带阻带最大误差比?1/?2固定，令?1或?2为变量，有效而系统的改变((L+1)个非限制的脉冲响应值he(n)，从而达到满足设计指

j?标的目的。(3-3-1)式中的cos(?n)项可表示为不同幂次之和，Ae(e)可改写为

Ae(e)??ak(cos?)k (3-3-2)

j?k?0L式中，ak是与he(n)相关的常数。我们定义逼近误差函数为：

E(?)?W(?)[Hd(ej?)?Ae(ej?)] (3-3-3)

j?其中，W(?)为加权函数，要求E(?)，W(?)及Hd(e)只在0????区间有定义。

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最大误差最小准则即是在所要求频域上找出使(3-3-2)式的最大加权逼近误差达

j?(|E(?)|)意义上所求得的最小的频响Ae(e)。即最佳逼近就是在h(minn):0?n?Lmax??Fe逼近。这里的0????闭子集。使给定阶次的多项式的最大加权误差为最小的充要条件由交替定理给出。其表达式为

E(?j)?W(?j)[Hd(ej)?Ae(ej)]?(?1)i?1?

j?j? i=1,2,...,(L+2) (3-3-4)

E(?)| (3-3-5) |E|?(max)|??Fδ为最优误差。(3-3-4)、(3-3-5)式说明逼近误差E(?i)至少要有L+2交错点，从

j?而使|E|最小，Ae(e)唯一。由(3-3-2)，(3-3-4)式可以解出系数组ak和δ。

另一种更为有效的方法是多项式内插公式，可求得

???bHkk?1L?2L?2d(ej?k) (3-3-6)

(?1)k?1?k?1W(?k)其中bk??1j?，也即若Ae(e)由满足(3-3-2)，(3-3-4)式 确定的ak并且δ

i?1,i?kx?xkiL?2由(3-3-6)式给出，则误差函数就会通过((L+2)个频率?c上的士δ处。而为避免求解复杂方程组(3-3-2)，(3-3-4)来得出系数，Parks-McClellan采用Lagrange多项式内插公式，有

Ae(ej?)??[dk?1L?2k?1L?2k/(x?xk)]ck (3-3-7)

k?[d/(x?xk)]其中，ck?Ad(ej?kL?11(?1)k?1??bk(xk?xL?2), )? ，dk??i?1,i?kx?xW(?k)kij?这里令xi?cos?i。通过(3-3-7)式可计算通带和阻带中多处频域的Ae(e)和E(?)值。若对通带和阻带中的所有ω，都有|E(?)|

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