全国名校高考数学优质学案平面解析几何专题汇编(附详解)

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第八章 平面解析几何

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[考纲传真] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3.掌握确定直线位置的几何要素.

4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.

知识点1 直线的倾斜角 1．定义

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

2．规定

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. 3．范围

直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 知识点2 直线的斜率 1．定义

若直线的倾斜角α不是90°，则其斜率k＝tan_α. 2．计算公式

若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直x轴，则k＝

y2－y1

. x2－x1

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知识点3 两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件 两直线位置关系 平行 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 垂直 斜率的关系 k1＝k2 k1与k2都不存在 k1k2＝－1 k1与k2一个为零、另一个不存在 知识点4 直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 已知条件 斜率k与点(x0，y0) 斜率k与直线在y轴上的截距b 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xya＋b＝1 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

1．必会结论 (1)直线系方程

①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． (2)两直线平行或重合的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是：A1B2－A2B1＝0.

(3)两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是：

适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b 截距式 一般式 全国名校高考数学优质学案平面解析几何专题汇编（附详解）

A1A2＋B1B2＝0.

2．必清误区

(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．

(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( ) (3)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )

【解析】 (1)错误．当直线垂直于x轴时，没有斜率． (2)错误．l1与l2可能重合．

(3)错误．可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在． (4)正确．把两点式方程转化为整式方程，故(4)正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为( )

A．2 C．4

【解析】 由题意知【答案】 B

3．(优质试题·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )

A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0

B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0 B．3 D．5

m－41

＝，解得m＝3. 1－m2

【解析】 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1

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＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.

【答案】 D

4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________. 【解析】 令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x2轴上的截距为1＋a. 2

依题意2＋a＝1＋a，解得a＝1或a＝－2. 【答案】 1或－2

考向1直线的倾斜角与斜率

1．直线xcos α＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是( ) ?ππ??π5π?A.?6，2?∪?2，6? ????5π??

C.?0，6? ??

π??5π??

B.?0，6?∪?6，π? ?????π5π?D.?6，6? ??

3?33?

【解析】 直线的斜率k＝－3cos α∈?－，?，

3??333

设直线的倾斜角为θ，则－3≤tan θ≤3. π5π

所以0≤θ≤6或6≤θ<π，故选B. 【答案】 B

2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )

1A.3 3C．－2

【解析】 设P(x,1)，Q(7，y)， x＋7y＋1

则2＝1，2＝－1，

1B．－3 2D.3