十一、最短路线问题

最短路线问题

考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

以下主要对中考“饮马问题”试题进行汇编，希望能对即将中考的同学们有所帮助。

例1、 在某河流的北岸有A、B两个村子，A村距河北岸的距离为1千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上（单位：千米）. （1）请建立平面直角坐标系，并描出A、B两村的位置，写出其坐标.

（2）近几年，由于乱砍滥伐，生态环境受到破坏，A、B两村面临缺水的危险.两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置？在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度.

例2：请你完成这样一项任务：如图，直线a,b表示一条河的两岸，且a//b。现要在这条河上建一座桥。桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短？（桥与河岸垂直），画出示意图，并用平移的原理说明理由。

1、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对

角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD?PE的和最小，则这个最小值为（ ） A D

A．23 B．26 C．3 D．6

1

P E

B C

3、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）

A、21717B、

48C、 1717D、3

1717

（提示：动点，作A关于BC的对称点A＇，连A＇D交BC于P，涉及勾股定理，相似）

4、已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y2轴对称的抛物线y＝ax＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上． (1)求直线BC的解析式；

(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标； (3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

y y B

B A

A x

x O O D D

(第4题图) (第4题图) 5、如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，、0)C(0，2)，D为OA的中点．设点P是． ?AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）

（1）试证明：无论点P运动到何处，PC始终与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式； （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使?CPN?90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

y C(0，2) B P O

D A(4，0) x 2

6、一次函数y?kx?b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标． y B DP

OCAx

第6题

7、已知：抛物线的对称轴为直线X=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A??3， 0?、C?0，?2?．（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标． （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． y

A O B x

C

y O A B x

C

3

8、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y?ax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标； (2) 平移抛物线y?ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

y y A y 8 A′ 8 A′ 8 6 6 6 4 4 4 B 2 B′ 2 B′′ B′ D C 2 D C -4 -2 O 2 4 x C D -4 -2 O 2 4 x -2 -4 -2 O 2 4 x -2 -2 -4 -4 -4

A′′ A′′ ((2)①图) ((2)②图)

提示：

第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。答案见参考图。 ① 方法一，A′关于x轴对称点A〞，要使 A′C+CB′最短，点C应在直线A〞B′上；

方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=14／5，即抛物线左移14／5单位； ②设抛物线左移b个单位，则A＇（-4-b,8）、B＇（2-b,2）。∵CD=2,∴B＇左移2个单位得到B″（-b,2）位置，要使A′D+C B＇最短，只要A′D+DB″最短。则只有点D在直线 A″B″上。

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