步步高 学案导学设计2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末综合检测(B)新人教A版必修4 

14．1

解析 ∵sin αcos β＝1，

∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.

∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 4215.

9122

解析 cos β＝－，sin β＝，

33122

sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，

33

22

故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－)3(－3122142)＋3＝. 333916．1

解析 令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°， ∴y＝sin α＋cos(α＋30°)

＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° 13

＝sin α＋cos α 22

＝sin(α＋60°)． ∴ymax＝1.

π55

17．解 (1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)?cos α＝－，α∈(0，π)?sin α＝

25525

. 5

πα－2π－α

－＋

3π＋α2

π＋α

＝

－cos α－sin α1

＝－. sin α－cos α3

(2)∵cos α＝－52543

，sin α＝?sin 2α＝－，cos 2α＝－. 5555

3π222

cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－. 42210

13π

18．解 (1)原式＝sin 2x＋3cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2(sin 2xcos ＋cos

223

π2xsin )

3

π

＝2sin(2x＋)．

3

∴函数f(x)的最小正周期为π.

πππ

(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.

3212ππ5π

当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.

3212

πππ

(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

232

6

5ππ

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

1212

5ππ

∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

1212

3xx3xx19．解 (1)a2b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，

22223xx23xxcos ＋cos ＋sin －sin

2222

ππ

∵x∈[－，]，∴cos x>0，

34

∴|a＋b|＝2cos x. |a＋b|＝2

＝2＋2cos 2x＝2|cos x|，

1232

(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cosx－2cos x－1＝2(cos x－)－.

22

ππ1

∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，

34213

∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.

22

122

20．解 (1)2(2cosB－1)－8cos B＋5＝0，即4cosB－8cos B＋3＝0，得cos B＝.

2

又B为△ABC的内角，∴B＝60°.

a2b34

(2)∵cos θ＝＝－，∴sin θ＝.∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝

|a|2|b|554－33

. 10

21．解 (1)由题意，得m2n＝0，所以

1＋cos 2ωx3sin 2ωxπ1

＋＝sin(2ωx＋)＋. 2262

根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.

1

又ω>0，所以ω＝. 3

2xπ1

(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，

362

3ππ1123

所以f(α＋)＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝. 2222226

5

解得cos α＝.

13

12

因为α是第一象限角，故sin α＝. 13

f(x)＝cos ωx2(cos ωx＋3sin ωx)＝

所以132－.

14

πα＋

4π＋2α

＝πα＋

4

cos 2α22

sin α＋cos α22＝＝22cosα－sinα

2

α－sin α

＝

11π2

22．解 (1)因为f(x)＝sin 2xsin φ＋cosxcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，

222

11＋cos 2x1

所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ

222

7

11

＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ 221

＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ) 21

＝cos(2x－φ)． 2

π1

又函数图象过点(，)，

62

11π

所以＝cos(23－φ)，

226π

即cos(－φ)＝1，

3

π

又0<φ<π，所以φ＝.

31π1

(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，232

1π

纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，

23

π

因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，

4ππ2π

因此4x－∈[－，]，

3331π

故－≤cos(4x－)≤1.

23

π11

所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.

424

8