结合的有效途径
例6．（1）（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=( )
A. B. C.－ D.
2π
解析 由图象可得最小正周期为
3
2π2ππ7π
于是f(0)＝f(),注意到与关于对称
332122ππ
所以f()＝－f()＝
32答案 B
（2）（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图像如图所示，则 =________________
解析：由图可知， 答案：
题型4：三角函数的定义域、值域
例7．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域； （2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
解析：（1）0≤cosx＜1?2kπ－
图 ππ≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。 22∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－
ππ，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。 22（2）由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。 又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。 故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－
ππ，2kπ+），k∈Z}。 22点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线
6cos4x?5cos2x?1例8．已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，
cos2x并求其值域
解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+
?2，解得x≠
k??，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x24∈R且x≠
k???，k∈Z}， 24因为f（x）的定义域关于原点对称，
6cos4(?x)?5cos2(?x)?16cos4x?5cos2x?1且f（－x）==f（x）。 ?cos(?2x)cos2x所以f（x）是偶函数。 又当x≠
k???（k∈Z）时， 246cos4x?5cos2x?1(2cos2x?1)(3cos2x?1)??3cos2x?1。 f（x）=
cos2xcos2x所以f（x）的值域为{y|－1≤y<
11或 例9．求下列函数的单调区间： （1）y= 1π2xπsin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。 244312πsin（x－）再求之。 234π）|的图象 4分析：（1）要将原函数化为y=－ （2）可画出y=－|sin（x+解：（1）y= 1π2x12xπsin（－）=－sin（－）。 242433π2xππ≤－≤2kπ+。 2423故由2kπ－?3kπ－ 3π9π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间； 88由2kπ+?3kπ+ π2xπ3π≤－≤2kπ+。 24239π21π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。 883π9π，3kπ+］， 88∴递减区间为［3kπ－递增区间为［3kπ+ 9π21π，3kπ+］（k∈Z）。 88（2）y=－|sin（x+ ππ3ππ）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，4444kπ+ π］。 4 例10．（2002京皖春文，9）函数y=2 sinx的单调增区间是（ ） A．［2kπ－ ?2，2kπ＋ ?2］（k∈Z） B．［2kπ＋ 3??，2kπ＋ 22］（k∈Z） C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z） D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z） xsinx解析：A；函数y=2为增函数，因此求函数y=2的单调增区间即求函数y=sinx的单调 增区间 题型6：三角函数的奇偶性 例11．判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+1?sin2x）。 分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系。 解析：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0， 即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数。 点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。 例12．（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+?）有以下命题： ①对任意的?，f（x）都是非奇非偶函数； ②不存在?，使f（x）既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f（x）是奇函数； ④对任意的?，f（x）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时，该命题的结论不成立 ??+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z） 22解析：当?=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当?=2（k+1）π，k∈Z时f（x） 答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，=－sinx仍是奇函数。当?=2kπ+ ?2，k∈Z时，f（x）=cosx，或当?=2kπ－ ?2，k∈Z时， f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论?为何值都不能使f（x） 恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分 题型7：三角函数的周期性 66 例13．求函数y=sinx+cosx的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。 分析：将原函数化成y=Asin（ωx+?）+B的形式，即可求解 解析：y=sinx+cosx=（sinx+cosx）（sinx－sinxcosx+cosx） 6 6 2 2 4 2 2 4 =1－3sinxcosx=1－∴T= 22 3532 sin2x=cos4x+。 488π。 2kπ（k∈Z）时，ymax=1。 2当cos4x=1，即x= 例14．设f(x)?asin?x?bcos?x(??0)的周期T??，最大值f(?12)?4， （1）求?、a、b的值； （2）若?、、?为方程f(x)?0的两根，?、、?终边不共线，求tan(???)的值。 解析：(1) f(x)?a2?b2sin(?x??)， ?T??， ???2， 又 ?f(x)的最大值。 ?2?2??f()?4， ?4?a2?b2 ① ，且 4?asin?bcos②， 121212由 ①、②解出 a=2 , b=3. (2) f(x)?2sin2x?23cos2x?4sin(2x? ?4sin(2???3)， ?f(?)?f(?)?0， ?3)?4sin(2???3)， ?2???3?2k??2???3， 或 2???3?2k????(2???3)， 即 ??k??? (?、? 共线，故舍去) ， 或 ????k???6， ?tan(???)?tan(k???6)?3 (k?Z)。 3点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的 周期性。 题型8：三角函数的最值 例15．（2009安徽卷文）设函数，其中，则导数的取值范围是 A. 解析 ，选D 例16．（2009江西卷理）若函数，，则的最大值为 A．1 B． C． D． 答案：B 解析 因为== 当是，函数取得最大值为2. 故选B 。 B. C. D. 五．【思维总结】
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