113?a?OD?OE?OF??a·a 222?OD?OE?OF?3a 2方法二：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点 H作HM⊥BC于点M， ??DGO??B?60°，?OHF??C?60° ?△AGH是等边三角形 ?GH?AH ?OE⊥BC ?OE∥HM
?四边形OEMH是矩形 ?HM?OE
在Rt△ODG中，OD?OG·sin?DGO?OG·sin60??A D G B
F H M C
3OG 2O E ·sin?OHF?OH·sin60??在Rt△OFH中，OF?OH3OH 2·sinC?HC·sin60??在Rt△HMC中，HM?HC3HC 2?OD?OE?OF?OD?HM?OF?333OG?HC?OH 222333?GH?HC??AC?a 222 ?M A D F?
F O E E?
D? B
C G
N
（2）②:结论2成立．
证明：方法一：如图４，过顶点A、B、C依次作边AB、BC、CA的垂线围成△MNG，由（1）得△MNG为等边三角形且MN?3a
过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?，OF??MG于点F? 由结论1得：
OD??OE??OF???33MN??3a?a ?22又?OD?AB，AB?MG，OF??MG
??ADO??DAF???OF?A?90? ?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD
同理：OD??BE，OE??CF
?AD?BE?CF?OD??OE??OF??方法二：（同结论1方法二的辅助线）
A D G B
F H
3a 2O E M C （图3）
在Rt△OFH中，FH?OF3?OF
tan?OHF3在Rt△HMC中，HC?HM23?OE sinC3?CF?HC?FH?233OE?OF 33同理：AD?233233OF?OD，BE?OD?OE 3333?AD?BE?CF
＝233233233OF?OD?OD?OE?OE?OF 333333＝3?OD?OE?OF?
由结论1得：OD?OE?OF?A D
O B E （图5）
C F
3a 2?AD?BE?CF?3?33a?a 22方法三：如图5，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BE2?OE2?OB2?BD2?OD2① CF2?OF2?OC2?CE2?OE2② AD2?OD2?AO2?AF2?OF2③
①+②+③得：
BE2?CF2?AD2?BD2?CE2?AF2
?BE2?CF2?AD2??a?AD???a?BE???a?CF?
222?a2?2AD?a?AD2?a2?2BE?a?BE2?a2?2CF?a?CF2
整理得：2a?AD?BE?CF??3a
2?AD?BE?CF?3a 12分 2
20．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；
（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．
C E A
P
B
【关键词】圆的性质，三角形相似的性质
【答案】解：?AB是半圆的直径，点C在半圆上， ??ACB?90°． 在Rt△ABC中，AC?AB2?BC2?102?62?8
（2）?PE⊥AB，
??APE?90°．??ACB?90°， ??APE??ACB． 又??PAE??CAB， ?△AEP∽△ABC，
PEAP? BCAC110?PE2 ??683015?PE??．
84?
19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y＝?2x?8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P?0，k?是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P． （1）连结PA，若PA?PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ l A y O P B l x A y O x （备用图）
【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】
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