南京师大附中2020届高三模拟试卷
数 学
(总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．设集合A?x?1?x?2，B?x0?x?4，则AIB? ▲ .
ks5u????2．若复数(a?i)(1?i)（i是虚数单位，a?R）是纯虚数,则a= ▲ . 3．直线l经过点(?2,1)，且与直线2x?3y?5?0垂直，则l的方程 是 ▲ .
4．命题“?x?R，sinx??1”的否定是 ▲ .
5．函数y?x?2cosx在(0,?)上的单调递减区间为 ▲ .
输出(x，y) 开始 x ←1, y ←0, n ←1 rrr?6．已知平面向量a?(1,2)，b?(?1,3)，则a与b夹角的余弦值
为 ▲ .
7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使 卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率 是 ▲ .（用分数表示）
ks5un ← n＋2 x ← 3x 8．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组(x,y)依次记为
(x1,y1)，(x2,y2)，L，(xn,yn),L，则程序运行结束时输出的
最后一个数组为 ▲ .
9．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠
y ← y－2 n ＞ 8 是 结束 第8题 否 a2部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中
4一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒 为 ▲ .
10．已知m,n是两条不同的直线，?为两个不同的平面，有下列四个命题： ks5u① 若m//?,n//?，则m//n； ② 若m??,n??，则m//n； ③ 若m//?,n??，则m?n；④ 若m??,m?n，则n//?． 其中真命题的序号有 ▲ .（请将真命题的序号都填上） 11．若函数y?▲ .
12．将正偶数排列如右表，其中第i行第j个数表示为aij(i,j?N)，
例如a43?18，若aij?2010，则i?j? ▲ .
ks5u第9题
x?bb在(a,b?4)(b??2)上的值域为(2,??)，则a? x?2*x2y213．若椭圆2?2?1(a?b?0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到
ab 2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 …… 15 第12题
右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为 ▲ .
c2?(a?b)214．锐角?ABC的三边a,b,c和面积S满足条件S?,又角C既不是?ABC的最大角也不是
4k?ABC的最小角,则实数k的取值范围是 ▲ .
ks5u二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在
答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
. 已知角A,B,C是?ABC的内角，向量m?(1,3),n?(sin(??A),sin(A?（Ⅰ）求角A的大小；
ks5uvv?2??))，m⊥n.
（Ⅱ）求函数y?2sinB?cos(?2B)的值域.
2?3
16．(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BB1，AC1?A1B，
B1
A1 C1
D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1.
B C
D
A
第16题
17．(本小题满分14分)
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的．．
函数关系近似满足f(t)?4?1，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的函数关系近似满足．tg(t)?115?|t?15|.
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1?t?30,t?N)的函数关系式； ．．（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）. ．．
18．(本小题满分16分)
已知eO:x?y?1和点M(4,2).
（Ⅰ）求以点M为圆心，且被x轴截得的弦长为25的圆⊙M的方程；
（Ⅱ）过点M向eO引切线l，求直线l的方程；
（Ⅲ）设P为⊙M上任一点，过点P向eO引切线，切点为Q.
试探究：平面内是否存在一定点R，使得
y M · 22PQ为定值？若PRo x 存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
第18题
19．(本小题满分16分)
已知数列{an}是以d为公差的等差数列，数列{bn}是以q为公比的等比数列．
（Ⅰ）若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1?b1?d?2,S3?a1003?5b2?2010,求整数q的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列{bn}中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续
p(p?N,p?2)项的和？请说明理由；
（Ⅲ）若b1?ar,b2?as?ar,b3?at（其中t?s?r，且（s?r）是（t?r）的约数），
求证：数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.
20．(本小题满分16分)
已知函数f(x)?a?x?xlna(a?0,a?1).
（Ⅰ）当a?1时，求证：函数f(x)在(0,??)上单调递增； （Ⅱ）若函数y?|f(x)?t|?1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1,x2?[?1,1]，使得|f(x1)?f(x2)|?e?1，试求a的取值范围.
x2
数学参考答案
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. [0,2] 2. a??1 3. 3x?2y?4?0 4. ?x?R,sinx??1 5.(?5?66,) 6.
2 217?3a3117.8. (27,?6) 9. 10.②③ 11. 12. 60 13. 14. (2?1,1)
283 16二、解答题：本大题共6小题，计90分.
15. 解：（Ⅰ）因为n?(sinA,?cosA)，且m⊥n，所以m·n=sinA?3cosA?0………4分
则tanA?3，又A?(0,?)，所以A? （Ⅱ）因为y?(1?cos2B)?(cos2B?v?????3…………………………………………………7分
123sin2B) 231?sin2B?cos2B?1?sin(2B?) ……………………………………………11分 226??1??2???7?而A?，所以0?B?，则??2B??，所以sin(2B?)???,1?
6?2?33666?1?故所求函数的值域为y??,2? ……………………………………………………………14分
?2?16. 证明：（Ⅰ）设AB1IA1B?O，连结OD.
由于点O是AB1的中点，又D为AC的中点，所以OD//B1C………………………………5分
?1?而B1C?平面A1BD，OD?平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD…………………………7分 （Ⅱ）因为AB?BB1，所以是ABB1A1正方形，则A1B?AB1，
又A1B?AC1,且AC1,AB1?平面AB1C1,AC1IAB1?A，所以A1B?平面ABB1A1…12分
而A1B?平面AB1C1，所以平面AB1C1⊥平面ABB1A1………………………………………14分 17．解：（Ⅰ）由题意得，w(t)?f(t)?g(t)?(4?)(115?|t?15|)……………………………5分
1t1?*(4?)(t?100),(1?t?15,t?N)??t （Ⅱ）因为w(t)??………………………………………7分
1?(4?)(130?t),(15?t?30,t?N*)?t?125①当1?t?15时，w(t)?(4?)(t?100)?4(t?)?401?4?225?401?441
tt25 当且仅当t?，即t?5时取等号……………………………………………………………10分
t1130?4t)，可证w(t)在t?[15,30]上单调递减，②当15?t?30时，w(t)?(4?)(130?t)?519?(tt1所以当t?30时，w(t)取最小值为403………………………………………………13分
311 由于403?441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元…………………………14分
3322218. 解：（Ⅰ）设圆的半径为r，则r?2?(5)?9 ……………………………………3分
∴⊙M的方程为(x?4)?(y?2)?9 ……………………………………………………5分
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