(c)以月计复利的R为
1000(1?R12)12＝1000
i.e.
12所以R＝0.0957,年收益率为9.57%。 (1?R)=
121.1=1.00797 （d） 连续复利R为
1000e?1100
Ri.e.
e?1.1
R所以R?ln1.1＝0.0953，即年收益率为9.53%。
3.9按月计复利的15％的年利率等价于多少连续复利的年利率？ 解：收益率R为
eR?(1?0.1512)
12i.e.
R?12ln(1?0.1512)
=0.1491
所以连续复利的年利率为14.91%。
3.10一存款帐户按12％的年利率连续复利计息，但实际上是每季度支付一次利息$10,000的存款，每季度支付多少利息？
解：等价年利率R为
e0.12?(1?R4)
4或
R?4(e0.03?1)＝0.1218
所以每季度支付的利息为 1000×
0.12184＝304.55
或$304.55。
3.11当一种不支付红利股票为$40时，签订一份一年期的基于该股票的远期合约，无风险利率为10％（连续复利计息）。 解：（a）远期合约价格F0为
F0?40e0.1=44.21
或$44.21。期货合约的初始价值为零。
（b）远期合约的交割价格K为$44.21。六个月后，远期合约的价值f为
f?45?44.21e
?0.1*0.5
9
＝2.95
i.e.,远期合约价值为$2.95。远期价格为
45e0.1*0.5＝47.31
或$47.31。
3.12一种股票预计在两个月后会每股支付$1红利，五个月后再支付一次。股票价格为$50,无风险年利率为8%(对任何到期日连续复利计息)。一位投资者刚刚持有这种股票的六个月远期合约的空头头寸。 解：利用等式（3.7）,六个月的远期合约价格为
150e(0.07?0.032)*0.5?152.88
或$152.88。
3.13无风险年利率为7％（连续复利计息），某股票指数的红利年支付率为3.2%.指数现值为150。六个月期限的期货合约的期货价格为多少？ 解：期货合约的价格为 150e0.5(0.07?0.032)＝152.88
3.14假设无风险年利率为9％（连续复利计息），某股票指数的红利支付率在年内经常发生变化。在2月份，5月份及11月份红利支付率为5％。其他月份红利年支付率为2％。假设1996年7月31日的指数价值为300。那么1996年12月31日交割的期货合约的期货价格为多少？
解：该期货合约为5个月期，其中三个月利率为2％，另外两个月为5％。因此，平均利率为：
15（3×2＋2×5）＝3.2%
该期货合约的价格为：
300e0.4167(0.09?0.032)＝307.34
3.15假设无风险年利率为10%(连续复利计息)，某股票指数的红利支付率为4％。现在指数为400，四个月后交割的期货合约的期货价格为405。请问存在什么样的套利机会？ 期货理论价格为
400e0.3333(0.10?0.04)＝408.08
而实际期货价格为405。这说明该股指期货价格被低估，正确的套利策略为： （a） 购入期货多头合约 （b） 售出该指数下的股票
3.16用表3.3中所给数据，计算德国和美国的无风险利率的差别。
答：德国利率低于美国的利率，因此，随着到期日的增长，德国马克期货价格上升。
3.17瑞士和美国按连续复利计息的两个月期的年利率分别为3％和8％。瑞士法郎即期价格为$0.6500。两个月后交割的合约的期货价格为$0.6600。问存在怎样的套利机会？ 解：理论期货价格为
0.65e0.1667(0.08?0.03)＝0.6554
实际期货价格高估。套利者可以通过借入美元买入瑞士法郎同时卖出瑞士法朗期货合约来套利。
3.18银的现价为每盎司$9。储存费用为每盎司每年$0.24,每季度支付一次而且要预先支付，假设所有期限的利率均为每年10％(连续复利计息)，计算九个月到期的银的期货价格？ 解：九个月的储存费用为
0.06?0.06e
?0.25*0.1?0.06e?0.5*0.1?0.176
10
所以期货的价格F0为
F0＝(9.000?0.176)e0.1*0.75?9.89
i.e.,每盎司$9.89。
3.19一家银行让一家公司客户从以下两种方案中选择：按11％的年利率借现金或按2%的年利率借黄金，（如果借黄金，利息及本金要用黄金支付。因此今天借100盎司黄金一年后要支付102盎司的黄金）。无风险年利率为9.25%,储存费用为每年0.5%。请分析黄金贷款的年利率与现金贷款的年利率相比是太高了还是太低了？其中两个贷款的利率都用年复利表示。无风险利率和储存成本用连续复利表示。 解：黄金年利率为 （102－100）/100=0.02 由式3.3得，连续复利为
In(1+0.02)=0.0198<<(9.25+0.5)=9.75
因此，黄金贷款年利率与现金贷款的年利率相比是太低了。
3.20假设F1和F2是基于同一种商品的两份期货合约，到期日分别为t1和t2，且t2>t1。请证明：
F2?(F1?U)er(t2?t1)
其中，r为无风险利率（假设不变），U是t1到t2的存储费用，并以无风险利率贴现到t1时刻。为了解这道题，假设远期合约与期货合约的价格相等。 解：如果
F2?(F1?U)er(t2?t1)
投资者可以通过以下方式进行无风险套利： （a） 买入一份在t1时到期的期货合约。 （b） 卖出一个在t2时到期的期货合约。
当第一份期货合约到期时，借入数量为F1?U，利率为r，期限为t2?t1的货币，在到期日t2执行第二份期货合约F2，并归还(F1?U)eF2?(F1?U)er(t2?t1)r(t2?t1)，获利为
因此，套利机会逐渐消失，
F2?(F1?U)er(t2?t1)
3.21当一家公司用远期合约为一已知的外币现金流出进行套期保值，就不存在外币兑换风险，而当用期货合约对该外币现金流出进行套期保值，盯市的方式的确会使公司暴露于一些风险。请解释这种风险的性质。尤其考虑当出现如下四种情况时，公司使用期货合约和远期合约两种方式中的哪一种更好。 (a) 在合约期内，外币迅速贬值。
(b) 在合约期内，外币迅速升值。
(c) 外币先升值然后贬值至它的初始水平。 (d) 外币先贬值然后升值至它的初始水平。 假设远期价格等于期货价格。
11
答：期货合约的总收益和损失与远期合约相等，但是在逐日盯市下，期货合约的价值与远期合约价值偏离。这时远期比期货合约实现更完美的套期保值。
（a） 在这种情况下，远期比期货合约方式好。如果使用远期合约方式，总损失在到期日结算，而使用期货合约方式，损失则是每日结算。
（b） 在这种情况下，期货合约方式更好。如果使用远期方式，收益在到期日结算，而使用期货合约方式时，收益则是每日结算。
（c） 在这种情况下，期货合约方式更好。这是由于风险先产生正的现金流，而后产生负的现金流。 （d） 在这种情况下，远期合约方式更好。这是由于如果使用期货合约方式，先产生负的现金流，后产生正的现金流。
3.22有些人认为远期汇率是未来即期汇率的无偏估计。在什么情况下这种说法是成立的？
答：由等式（3.25）可知，当r＝k时，远期汇率是即期汇率的无偏估计，此时该投资的系统性风险为0。 3.23某家公司不确切知道支付外币的确定日期，有时愿意与银行签订一种在一段时间内都可交割的远期合约。公司希望拥有权利选择交割的确切日期，以对应它的现金流。把你放在银行的位子上，你如何为客户想要的这项产品定价？
答：银行要求公司支付一定的费用，并且确定交割的价格上限，在该价格以上，公司可以选择不交割，反之，在该价格以下，公司选择交割。
3.24外汇期货市场、外汇即期市场和外汇远期市场的报价方式有何区别？
答：在外汇期货市场上，价格通常用一单位美元等于多少外币来表示；在外汇即期市场和外汇远期市场上，通常用另外方式来表示：每单位美元等于多少外币。但是英镑等少数货币在即期市场和外汇远期市场上的价格表示方式与其在外汇期货市场上的表示方式相同。
3.2545天后交割的德国马克的远期价格报价为1.8204。45天后交割的德国马克期货价格为0.5479。请解释这两种报价。哪一种对想要卖出马克的投资者更为有利？
答：远期价格报价1.8204是指在远期市场上1.8024德国马克等于一美元。而期货报价指0.5479美元等于一德国马克。如果都用期货市场报价方式报价，则各自为0.5493和0.5479。因此，远期合约对卖出德国马克者更为有利，因为它每一德国马克收益更多美元。
3.26价值线指数的设计是为了反映1,600种股票的相等权重组合的价值变化。在1988年3月9日以前，每日指数变化是按照指数所包括股票价格变化的几何平均来计算的。在这些情况下，等式（3.12）是否正确反映了指数的期货价格与现货价格的关系？如果没有，等式是高估了还是低估了期货价格？
答:当使用股票价格的几何平均值时，价值线指数与现货价格不一定相关。等式（3.12）因此不正确。这是由于几何平均值总是低于数学平均值，等式（3.12）值大于期货价格。
3.27某家公司有一个?值为1.2的$1000万的组合。它如何运用S&P500的期货合约进行套期保值？指数现值为270。
解：S&P合约是指数的250倍，因此， 1.2×
需要售出177份该合约进行套期保值。
3.28“当便利收益率高时，多头套期保值对那些在未来某一时间要获取一定数量的商品的公司特别有吸引力”。请解释原因。 答：当便利收益率高时，期货价格低于即期价格。这使得购买期货合约锁定价格变得更有吸引力，但是并不是总如此。3.12说明期货价格与预期的期货即期价格取决于商品的系统性风险。
3.29一家美国公司打算使用在芝加哥商品交易所CME交易的期货合约对它的德国马克头寸进行套期保值。定义r为所有到期日的美元的年利率，为?f所有到期日的马克年利率。假设r和?f是常数，公司运用在T时刻到期的期货合约对冲在?时刻（T>?）的某个风险暴露，证明最佳套期保值比率为
12
10,000,000270*250＝177.7
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