第二章 导数与微分习题汇总

（3） y??（4） y??2lnx x?sinx??tanx cosxx2x2cos(x)?xsinx2 （5） y??2sin2212(1?x2)?2x(?2x)2?（6） y?? 2222x2(1?x)1?x1?()1?x2（7） y??2cosxx11(?sin)??sinx 2222（8） y??1?(1xa2?x2a2?x2?x)2?2xa2?x22a2?x2 ?22222a?xaa?x1?sinx1?sinx?ln?ln(1?sinx)?lncosx1?sinxcosx（9） cosx?sinx1y????1?sinxcosxcosxy?ln（10）y??e?kx(?2kx)??2kxe?kx 2-7 求下列各隐函数的导数。

（1） y2＝apx； （2） x2＋y2－xy＝1； （3） x3＋y3－3axy＝0； （4） y＝1－xey。 解 （1） y2＝apx

2yy’ = ap y’ = ap/2y （2） x2＋y2－xy＝1

2x + 2yy’ - y - xy’=0 y’ = (y-2x) / (2y-x)

（3） x3＋y3－3axy＝0

3x2 + 3y2y’ - 3ay - 3axy’ = 0 y’ = (3ay - 3 x2) / (3y2-3ax) （4） y＝1－xey

y’= - e y - xey y’ y’ = -ey / (1+ xey)

2-8 取对数求下列各函数的导数。

22

（1） xy＝(x＋1)2(x－2)3； （2）y?(x?1)(x?2) ；

(x?3)(x?4)（3） yx＝xy； （4） ey＝xy。 解 （1） xy＝(x＋1)2(x－2)3

lnx +lny=2ln(x+1)+3ln(x-2) 1/x + y' /y =2/(x+1) + 3/(x-2) （2）y?(x?1)(x?2)

(x?3)(x?4) lny = ln(x+1) + ln(x-3) - ln(x+3) - ln(x-4) y' /y =1/(x+1) + 1/(x-3) - 1/(x+3) - 1/(x-4)

（3） yx＝xy xlny = ylnx lny + xy' /y = y' lnx + y/x （4） ey＝xy y = lnx + lny y' = 1/x + y' /y y' = y / x(y-1) 2-9 求下列各函数的二阶导数。

（1） y＝exsinx； （2） y?x2e?x； （3） y＝2x2＋lnx； （4） y＝acosbx 。 解 （1） y＝exsinx

y??e(sinx?cosx)

y???e(sinx?cosx)?e(cosx?sinx)?2ecosx

（2） y??2xe?xe y???2e?4xe?xe （3） y??4x??x?x2?x?x2?xxxxx1 x1 2x y???4?（4） y???absinbx

2 y????abcosbx

2-10 某物体降温过程中的温度为 u?u0e?kt，求物体的冷却速率。 解 u???ku0e?kt

2-11 口服某药物后，血药浓度为C(t)?a(e?kt?e?mt)，求血药浓度的变化率。 解 C?(t)?a?(ke?kt+?mmet

2-12 一截面为倒置等边三角形的水槽，长20m，若以3m3/s速度把水注入水槽，在水面

高2m时，求水面上升的速度。 解 设水面高h m时体积为v m3 则 v?2032403h v??hh? 3333(m/s) 80 v??3 h = 2 所以 h??2-13 求下列各函数的微分。

（1） y?x； （2） y?(a2?x2)3； 21?x（3） y＝xsinx＋cosx ； （4） y＝arctanex ； （5） y＝ln(1＋x4)； （6） y?e?x?cos(3?x)。

1?x2解 （1） dy?dx

(1?x2)2 （2） dy?3xa2?x2dx

ex（3）d y＝xcosxdx （4） dy?dx

1?e2x4x3?x （5） dy? （6） dy?(?e?sin(3?x))dx dx41?x2-14 在括号内填入适当函数，使下列等式成立。

（1） d( )＝3dx； （2） d( )＝2xdx； （3） d( )＝ex dx； （4） d( )＝sintdt； （5） d( )＝1dx； （6） d( )＝sec2xdx ．

1?x2解 （1） d( 3x )＝3dx

（2） d( x2 )＝2xdx

（3） d( ex )＝ex dx （4） d( -cost )＝sintdt （5） d( ln(1+x) )＝1dx

1?x2 （6） d( tanx )＝sec2xdx

?x?ln(1?t2)dyd2y2-15 已知?，求，2。

dxdx?y?t?arctant2t?dx??dytdy1d2y1?t2?1?t2? d()? ?解 ? 22dx2dx2dx4t?dy?t?1?t2?2-16 在| x |很小时，证明下列各近似公式。

（1） e?1?x； （2） (1?x)n?1?nx； （3）tanx?x； 解 （1）

xf(x)?e,0x?0?,?xx （4） ln(1?x)?x。

x?,f0(?x)x1,f(x)0?

1 f(x)?0??xf(0x?)?f(0?x)ex?1?x（2）

f(x)?(1?x)n,x0?0,?x?x,f?(x0)?n,f(x0)?1 f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x (1?x)n?1?nx（3）

f(x)?tanx,x0?0,?x?x,f?(x0)?1,f(x0)?0 f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?xtanx?x（4）

f(x)?ln(1?x),x0?0,?x?x,f?(x0)?1,f(x0)?0 f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x ln(1?x)?x2-17 求下列各式的近似值。

1.01（1） e； （2） 3998。

xf(x)?e,0x?1?,?x0.0?1f,0x?(x)ef0,?x(

)e解 （1） f(x)?0??x1e1.0?1.0e1f(0x?)?f(0?x)f(x)?3x,x0?1000,?x??2,f?(x0)? （2） f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x31,f(x0)?10300

998?10?2149?93001502-18 造一个半径为1m的球壳，厚度为1.5cm，需用材料多少立方米？ 解 设球体积为V，半径为R，则

43V??R,dV?4?R2dR,R?1,dR?0.015 3?V?dV?0.06?m32-19 为计算球的体积，要求误差不超过1%，度量球的半径时允许的相对误差是多少？解 设球体积为V，半径为R，则

4V??R3,dV?4?R2dR,3 ?VdVdR1

??3?VVR100dR1?R300

【课外练习】

一、单选题

1. 设f(x)?x，则f'(0)?（ ），f'(?)?（ ）。 cosxA． 1，0 B. 1，-1 C. 0,-1 D. 0，1 2. 设f(x)?。 x2?1，则f'(0)?（ ）

A. 0 B.1 C.

11 D. - 223. 可导的偶函数，其导函数为（ ）函数，可导的奇函数，其导数为（ ）函数。 （A）奇，偶 （B）偶，奇 （C）奇，奇 （D）不能确定 4. 函数f(x)在点x?x0处可导是f(x)在点x?x0处可微的（ ）条件。 A. 充分不必要 B.充分必要 C. 必要不充分 D. 不能确定

5. 函数f(x)在点x?x0处的左导数以及右导数都存在并且相等是f(x)在点x?x0处可导的（ ）条件。

A.充分不必要 B.充分必要 C.必要不充分 D.不能确定 6. 函数y?x当x从1改变到1.01时的微分是（ ）。 A. 1.01 B. 0.01 C. 1.02 D. 0.02

7. 设函数f(x)可导且下列各极限都存在，则（ ）不成立。 A. f(0)?limx?0'2f(x)?f(0)f(a?2h)?f(a)' B.f(a)?lim

h?0xhf(x0)?f(x0??x)f(x0??x)?f(x0??x)' D. f(x0)?lim

?x?0?x2?xC.f(x0)?lim8. 若limx?a'?x?0f(x)?f(a)?A，A为常数，则有（ ）。

x?aA.f(x)在点x?a处连续 B.f(x)在点x?a处可导 C. limf(x)存在 D.以上都不对

x?a9. 若y?sinx，则y(10)。 ?（ ）