2010年北京海淀区高考一模试题：数学(理)

高考必胜！

【解析】 7；

由AB?8得AP?2,PB?6．由已知和相交弦定理得

?CP?PD?AP?PB?CP?3，解得． ??CP:PD?3:4PD?4??于是CD?CP?PD?3?4?7．

（海淀·理科·题11） 11．给定下列四个命题：

π1① “x?”是“sinx?”的充分不必要条件；

26② 若“p?q”为真，则“p?q”为真；

③ 若a?b，则am2?bm2；

④ 若集合AIB?A，则A?B．

其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）． 【解析】 ①，④；

（海淀·理科·题12）

a??12．在二项式?x2??的展开式中，x的系数是?10，则实数a的值

x??为 ． 【解析】 1；

5由二项式定理，Tr?C?xr525?r?r?a?r???aC5?x10?3r． ?????x?3r3当10?3r?1时，r?3，于是x的系数为??a?C35??10a，从而a?1．

（海淀·理科·题13）

13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2，且它们在第一象限的交点为P，?PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1?10，双曲线的离心率的取值范围为?1,2?．则该椭圆的离心率的取值范围

是 ．

?12?【解析】 ?,?；

?35?yPF1OF2x

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如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为a1,c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2,c，PF1?m,PF2?n，则

?m?n?2a1??a?5?ccc?m?n?2a2??1，问题转化为已知1?的取值?2，求?a?5?cm?105?c5?c?2???n?2c范围．

c5xcx11设，． ?x，则c????5?c1?x5?c2x?124x?21111111112∵1?x?2，∴?????，即???．

2624x?2210324x?25

（海淀·理科·题14）

14．在平面直角坐标系中，点集A???x,y?|x2?y2≤1?，

B?{(x,y)|x≤4,y≥0,3x?4y≥0}，则

（1）点集P??(x,y)x?x1?3,y?y1?1,?x1,y1??A?所表示的区域的面积为_____；

（2）点集Q??(x,y)x?x1?x2,y?y1?y2,(x1,y1)?A,(x2,y2)?B?所表示的区域的面积为 ．

π；18?π．【解析】 ；

yyB3PC1AQDxE13xOF4O

（1） 如左图所示，点集P是以?3,1?为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π；

（2） 如右图所示，点集Q是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为

1S△OPQ?SOABP?SPCDQ?SOFEQ?π??4?3??3?4?5??1?π?18?π．

2

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

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（海淀·理科·题15） 15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sin??x??????0,|?|?π?的图象如图所示． （Ⅰ）求?,?的值；

π??（Ⅱ）设g(x)?f(x)f?x??，求函数g(x)的单调递增区间．

4??y1Oπ4π2x-1?ππ?【解析】 （Ⅰ）由图可知T?4????π，

?24?2π???2，

T?π?又由f???1得sin?π????1，又f(0)??1，得sin???1

?2?π∵|?|??，∴???，

2π??（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?sin?2x????cos2x

2???π??1?因为g(x)???cos2x????cos?2x????cos2xsin2x?sin4x

2??2??ππkππkππ所以，2kπ?≤4x≤2kπ?，即?≤x≤? (k?Z)．

222828?kππkππ???(k?Z)． 故函数g(x)的单调增区间为??,2828??

（海淀·理科·题16） 16．（本小题满分13分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． （Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．

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【解析】 设指针落在A、B、C区域分别记为事件A、B、C．

111则P(A)?，P(B)?，P(C)?．

362（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．

111∵P?P(A)?P(B)???

6321即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．

2（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．

随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．

111P(X?0)???；

224111P(X?30)???2?；

23311115P(X?60)???2???；

263318111P(X?90)???2?；

369111； P(X?120)???6636所以，随机变量X的分布列为： 0 30 60 90 120 P 11511 X 4183936 11511其数学期望EX?0??30??60??90??120??40．

4318936

（海淀·理科·题17） 17．（本小题满分14分）

如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1C1C?底面ABC，AA1?AC?AC?2，1AB?BC，

且AB?BC，O为AC中点． （Ⅰ）证明：A1O?平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE//平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

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