【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．
18．【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得
?1?解析：?0,?
?2?【解析】 【分析】
根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a的取值范围. 【详解】
当x?1时,f?x??2x?1,此时值域为1,??? ?若值域为R,则当x?1时.f?x???1?2a?x?3a为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即??1?2a?01,解得0?a?
2?1?2a?3a?1?1??2?故答案为:?0,? 【点睛】
本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.
19．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】?分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：
3 2【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，令x??1即可求解. 【详解】
Qf(x)?g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数, 且f(x)?g(x)?2x?x ?f(?1)?g(?1)?f(1)?g(1)?2?1?1?故答案为：【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题.
3, 23 220．【解析】因为所以所以故填 解析：15 【解析】
因为3m?5n?k，所以m?log3k，n?log5k，
11lg5lg3lg15?????2，所以mnlgklgklgklgk?1lg15?lg15，k?15，故填15 2三、解答题
21．（1）f??1??0，证明见解析；（2）[1,2)?(2,3] 【解析】 【分析】
（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到f?x?与
f??x?之间的关系，进而证明；
（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】
???1?1?1?fx??fx?fy??0???1?， （1）令，则??x?x????x?得f?1??f?x??f?x??0，
再令x?1，y??1，可得f??1??f?1??f??1?， 得2f??1??f?1??0，所以f??1??0， 令y??1，可得f??x??f?x??f??1??f?x?， 又该函数定义域关于原点对称， 所以f?x?是偶函数，即证.
（2）因为f?2??1，又该函数为偶函数，所以f??2??1. 因为函数f?x?在???,0?上是减函数，且是偶函数 所以函数f?x?在?0,???上是增函数.又
4??f?2???x???1??2x?4??x??f?2x?4?， f???f?x???x?所以f?2x?4??f?2?，等价于?解得2?x?3或1?x?2.
?2x?4?0,?2x?4?0,或?
2x?4?2,2x?4??2,??所以不等式f?2?【点睛】
??4???x??1?f???1的解集为[1,2)?(2,3]. ?x?本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．(1)见解析；(2)a?【解析】 【分析】 【详解】
(1)Qf(x)的定义域为R, 任取x1?x2,
11；(3) . 262x1?2x211=. ?a?x2则f(x1)?f(x2)?a?x21?12?1(1?2x1)(1?2x2)Qx1?x2,∴21?2xx20,(1?2x1)(1?2x2)0.
∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2). 所以不论a为何实数f(x)总为增函数. (2)Qf(x)在x?R上为奇函数, ∴f(0)?0,即a?解得a?1?0. 20?11. 211?x, 22?1(3)由(2)知，f(x)?由(1) 知，f(x)为增函数,
∴f(x)在区间[1,5)上的最小值为f(1). ∵f(1)?111??， 236 ∴f(x)在区间[1,5)上的最小值为23．（1）?【解析】 【分析】
（1）根据幂的运算法则计算；
1. 61（2）3 2（2）根据对数运算法则和换底公式计算． 【详解】
解：（1）原式??49????3???1?4 ????1213?3??16????4????73??1?4 441??.
23（2）原式?log33?1?2?lg10
?3?1?2?1 ?3. 【点睛】
本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键． 24．(1)a?2;(2)x0?x?log23【解析】 【分析】
(1)由奇函数的性质得出a的值；
x3?2(2)结合f(x)的解析式可将f(x)?4化为x?0，解不等式即可得出答案；
2?12(3)利用函数f(x)在x?(1,3]上的单调性以及奇偶性将ftx?f(x?1)?0化为
??;(3)t?????,??1?? 4???tx2?1?x，分离参数t结合二次函数的性质得出实数t的取值范围.
【详解】
a?2?x?2a?2?2xa?2x?2(1)根据题意，函数f(?x)????f(x)? ?xxx2?11?21?2∴a?2.
2?2x?22x?13?2x2x?1(2)f(x)??4，即x?2，即x?2?x?0 x2?12?12?12?1xx??3?22?1?0即?，解得：1?2x?3，得0?x?log23.
x??2?1?0????2?2x?22?2x?2?44(3)f(x)? ??2?2x?12x?12x?1故f(x)在x?(1,3]上为减函数
f(tx2)?f(x?1)?0，即f(tx2)??f(x?1)?f(1?x)
11?11?1即tx?1?x，t?2??????
xx?x2?4221?1?1x?(1,3]又，??,1?，故t??
x?3?4综上t????,???1??. 4?【点睛】
本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题. 25．（1）(?1,3) （2）x1?x2?m 【解析】 【分析】
（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
（2）化简f?x?表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得
x1?x2以及m的取值范围，从而比较出x1?x2与m的大小关系.
【详解】 （1）依题意可知??3?x?0??1?x?3，故该函数的定义域为(?1,3)；
x?1?0?22（2）f(x)?log2(?x?2x?3)?log2(?(x?1)?4)，
故函数关于直线x?1成轴对称且最大值为log24?2， ∴x1?x2?2，m?2，∴x1?x2?m． 【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题. 26．(1)(??,5);(2)?0,1?. 【解析】 【分析】
f(5)?8求得a的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案； （1）由
f(2)（2）作出函数y?|f(x)?1|与y?t的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数t的取值范围. 【详解】 (1)∵
f(5)?8 f(2)a5∴2?a3?8则a?2 a即f(x)?2x,则函数f(x)是增函数
由f(2m?3)?f(m?2),得2m?3?m?2 得m?5,
即实数m的取值范围是(??,5).
(2)f(x)?2x,由题知y?2?1图象与y?t图象有两个不同交点, 由图知:t?(0,1)
x
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