课时跟踪检测（三十九） 基本不等式及应用
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为________．
11
解析：∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴
42
ab的最大值为.
1
答案： 4
11416
2．(2016·盐城调研)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为________．
aba－1b－1114164?b－1?＋16?a－1?
解析：因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，则＋＝
aba－1b－1?a－1??b－1?＝
4b＋16a－20
＝4b＋16a－20.
ab－?a＋b?＋1
14
?11??b4a?又4b＋16a＝4(b＋4a)?＋?＝20＋4×?＋?≥20＋4×2
?ab?
?ab?
b4ab·＝36，当且仅当aba4a113416
＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号，所以＋≥36－20＝16. bab2a－1b－1
答案：16
3．已知a＋b＝t(a＞0，b＞0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝________. ?a＋b?tt解析：因为a>0，b>0时，有ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab442的最大值为2，所以＝2，t＝8，所以t＝8＝22.
4
答案：22
4．(2016·常州一模)已知x>0，则解析：因为
＝x＋4
2
2
2
t2
2
x2
x＋4
的最大值为________．
x14
4
，又x＞0时，x＋≥2x＋xxx×＝4，当且仅当x＝，即x＝2xx44
时取等号，所以0<1x1
≤，即2的最大值为. 44x＋44x＋1
x1答案： 4
5．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
解析：依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|·|2b|＝22|ab|＝
1
2100＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.
答案：20
二保高考，全练题型做到高考达标
11
1．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是
ab________．
11
解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，
ab∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号． ∴m＋n的最小值是4. 答案：4
12
2．(2015·湖南高考改编)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为________．
ab12
解析：由＋＝ab，知a＞0，b＞0，
ab12
所以ab＝＋≥2 2
abab，即ab≥22，
12??a＝b，
当且仅当?12
??a＋b＝ab，
44
即a＝2，b＝22时取“＝”，
所以ab的最小值为22. 答案：22
3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费
8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
800
解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用xxx800x是元，则＋≥2 8x8
生产产品80件．
答案：80
800x800x·＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，∴每批x8x8
4．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足a＋b＝2，则________．
14
＋的最小值是a＋1b＋1
2
解析：
14?1＋4 ??a＋1?＋?b＋1? ＋＝? ?a＋1b＋1?a＋1b＋1?4
b＋14?a＋1??11?9b＋14?a＋1?1
＋ ?≥(5＋24)＝，＝?1＋4＋当且仅当＝，即a＝，a＋1b＋14?4a＋1b＋13?4b＝时取等号．
所以
149＋的最小值是. a＋1b＋1453
9答案： 4
???1
5．若一元二次不等式ax＋2x＋b>0(a>b)的解集为?x?x≠－
a???
2
??a2＋b2
?，则的最小值是
a－b??
________．
解析：由一元二次不等式axΔ＝4－4ab＝0且a>0，??
?12
a×2－＋b＝0，??aa2
??1?＋2x＋b>0的解集为?x?x≠－
a???
??
?，得??
a2＋b2?a－b?2＋2ab所以ab＝1且a>0.又已知a>b，所以＝＝
a－ba－b2
2
22a＋b(a－b)＋≥22，当且仅当a－b＝时取等号．所以的最小值是22.
a－ba－ba－b答案：22
6．已知实数x，y满足x＋y－xy＝1，则x＋y的最大值为________． 解析：因为x＋y－xy＝1，所以x＋y＝1＋xy. 所以(x＋y)＝1＋3xy≤1＋3×?
2
22
2
2
2
2
2
?x＋y?2，
??2?
即(x＋y)≤4，解得－2≤x＋y≤2. 当且仅当x＝y＝1时等号成立． 所以x＋y的最大值为2. 答案：2
7．(2016·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log2?
?x＋2y ?2－1＝2－1＝1，
?
?2?
当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立， 所以log2x＋log2y的最大值为1. 答案：1
3
8．规定记号“?”表示一种运算，即a?b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)．若1?k＝3，则
的值为________，此时函数f(x)＝k?xx的最小值为________．
解析：1?k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0， ∴k＝1或k＝－2(舍)， ∴k＝1.
∴f(x)＝1?xx＋x＋11
x＝x＝1＋x＋x≥1＋2＝3，
当且仅当x＝1
x，即x＝1时等号成立．
答案：1 3
9．(1)当x<32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；
(2)设0 2(2x－3)＋2x－3＋2 ＝－? ?3－2x?2＋8－2x???＋332 . 当x<3 2时，有3－2x>0， ∴ 3－2x8 3－2x2＋3－2x≥2 2·8 3－2x＝4， 当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－1 2时取等号． 于是y≤－4＋355 2＝－2，故函数的最大值为－2. (2)∵0 ∴y＝x?4－2x?＝2·x?2－x?≤ 2·x＋2－x2 ＝2， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，函数y＝x?4－2x?的最大值为2. 10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 4 k
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