四点共圆

解答：证明：作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

连接OP、OQ、OB、OA，

∵O是△ABC的外心， ∴OE=OF，OB=OA，

由勾股定理得：BE2=OB2-OE2，AF2=OA2-OF2， ∴BE=AF， ∵AP=BQ， ∴PF=QE，

∵OE⊥AB，OF⊥AC ∴∠OFP=∠OEQ=90°， ∴Rt△OPF≌Rt△OQE， ∴∠P=∠Q，

∴O、A、P、Q四点共圆．

即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．

点评：本题主要考查了四点共圆，勾股定理，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，作辅助线构造全等三角形证 ∠P=∠Q是解此题的关键．

11、如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，

过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH?PQ．

考点：四点共圆；相似三角形的判定与性质． 专题：证明题．

分析：首先利用连接CH并延长交AB于K，连接EQ，得出∠CQH=∠CEH=Rt∠，进而得出C、H、E、Q四点共圆，即可得出△EPH∽△QPE，得出PE2=PH?PQ．

解答：

∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴H是△ABC的垂心， ∴CK⊥AB，

∵∠CEH=∠BKH，∠EHC=∠KHB， ∴∠3=∠4，

∵∠AEB=Rt∠，P是AB的中点， ∴EP=BP，∴∠1=∠4，

证明：连接CH并延长交AB于K，连接EQ，

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∴∠1=∠3，

∵∠CQH=∠CEH=Rt∠， ∴C、H、E、Q四点共圆， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∵∠EPH=∠QPE， ∴△EPH∽△QPE， ∴PE/PH=PQ/PE， ∴PE2=PH?PQ．

点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出C、H、E、Q四点共圆是解题关键．

12、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

求证：∠PAB=∠PCB．

考点：四点共圆；平行四边形的性质． 专题：证明题．

分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP， 得出AEBP共圆，即可得出答案．

解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使

PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形， ∴AE∥DP，BE∥PC， ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）． 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP， ∴∠PAB=∠PCB． 点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键．

13、如图，⊙O的弦AC、BD交于点Q，AP、CP是⊙O的切线，O、Q、P三点共线．求证：

PA2=PB?PD．

考点：四点共圆． 专题：证明题．

分析：连接OA、OB、OD，设DP交⊙O于E．利用已知条件“AP、CP是⊙O的切线”可以证得A、O、C、P四点共圆；然后根据相交弦定理知OQ?PQ=AQ?CQ、DQ?BQ=AQ?CQ，由等量代换可以求得OQ?PQ=DQ?BQ，所以D、O、B、P四点共圆，所以由圆周角、弦、弧间的关系可以证得∠DPO=∠BPO，PB=PE；最后根据切割线定理得出结论PA2=PE?PD=PB?PD．

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解答：证明：连接OA、OB、OD、OC，设DP交⊙O于E．

∵AP、CP是⊙O的切线， ∴∠OAP=∠PCO=90°

∴A、O、C、P四点共圆，

∴OQ?PQ=AQ?CQ（相交弦定理）； 又∵DQ?BQ=AQ?CQ（相交弦定理）， ∴OQ?PQ=DQ?BQ，

∴D、O、B、P四点共圆； ∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD； 又∵ODPB四点共圆

∴∠ODB=∠OPB；∠OBD=∠OPD； ∴∠OPD=∠OPB， ∴PB=PE，

∴PA2=PE?PD=PB?PD（切割线定理），即PA2=PB?PD．

点评：本题考查了四点共圆的知识．把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连接并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．

14、如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为

CO上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G． （1）求证：∠CAF=∠CDE； （2）求证：CF=GF．

考点：四点共圆；相似三角形的判定与性质．

分析：（1）先连接BD，根据已知条件得出∠BEA=∠ACB=90°，得出A，B，C，E四点共圆且AB是此圆直径，再根据CH⊥AB，CH=DH，确定出D也在此圆上，从而得出A，B，C，D，E五点共圆，即可证出∠CAF=∠CDE；

（2）根据（1）得出∠CDB=∠CAO，∠BCD=∠ACO，得出△AOC∽△DCB，同理证出△AOF∽△DBG，△ACF∽△DCG，从而得出CF/FO=CG/BG，即可证出GF∥BO，得出O是AB的中点，最后得出CF=GF．

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解答：解：（1）证明：连接BD，

∵△ABC是Rt三角形，BE⊥AF ∴∠BEA=∠ACB=90°，

∴A，B，C，E四点共圆，且AB是此圆直径， 又∵CH⊥AB，CH=DH， ∴D在此圆上，

∴A，B，C，D，E五点共圆， ∴∠CAF=∠CDE；

（2）由（1）得：∠CDB=∠CAO，∠BCD=∠ACO， ∴△AOC∽△DCB，

同理可证：△AOF∽△DBG，△ACF∽△DCG，

∴AC/CD=AO/BD， FO/BG=AO/BD， AC/CD=CF/CG， ∴ CF/CG=FO/BG， ∴CF/FO=CG/BG， ∴GF∥BO，

∴O是AB的中点， ∴CF=GF．

点评：此题考查了四点共圆，解题的关键是根据相似三角形的判定与性质进行解答，是我们初中数学的重点，是中考必考的题型

15、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，

过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP=AQ．（初二）

考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质．

分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明△ADF∽△ABG，所以∠AFC=∠AGE，再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得∠AOP=∠AOQ，进而得到AP=AQ．

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