2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业： 定点、定值、探究性问题 Word版含解析

2020年高考冲刺

生物试卷

芳草香出品

课时作业57 定点、定值、探究性问题

第一次作业 基础巩固练

1．已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝16相切．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝|GA|2＋|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值．

解：(1)由题意得|PM|＋|PN|＝4，

∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆， ∴2a＝4,2c＝2，∴b＝a2－c2＝3，

x2y2

∴椭圆的方程为4＋3＝1.

x2y2

即点P的轨迹C的方程为4＋3＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知－2

??y＝k?x－m?，由?x2y2

??4＋3＝1，

得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0，

4m2k2－128mk2

∴x1＋x2＝2，x1x2＝， 2

4k＋34k＋3

6mk

∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝－2，

4k＋3

3k2?m2－4?

y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝， 2

4k＋3

222

∴|GA|2＋|GB|2＝(x1－m)2＋y21＋(x2－m)＋y2＝(x1＋x2)－2x1x2－

2m(x1＋x2)＋2m2＋(y1＋y2)2－2y1y2＝(k2＋－6m2?4k2－3?＋24?3＋4k2?1). 22

?4k＋3?

要使ω＝|GA|2＋|GB|2的值与m无关，需使4k2－3＝0，解得k＝3

±2，此时ω＝|GA|2＋|GB|2＝7.

p

2．如图，设直线l：y＝k(x＋2)与抛物线C：y2＝2px(p>0，p为1

常数)交于不同的两点M，N，且当k＝2时，弦MN的长为415.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ过定点．

11p

解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当k＝2时，直线l：y＝2(x＋2)，