若OP＝PE，
∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1）， 综上所述：当点P（0，角形．
4．如图，A、D、B、C分别为反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜n＜x）图象上的点，且
）或（0，﹣
）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三
AC∥x轴，BD∥y轴，AC与BD相交于点P，连接AD、BC．
（1）若点A坐标A（1，2），点B坐标B（2，5），请直接写出点C、点D、点P的坐标； （2）连接AB、CD，若四边形ABCD是菱形，且点P的坐标为（3，2），请直接写出m、n之间的数量关系式；
（3）若A、B为动点，△APD与△CPB是否相似？为什么？
解：（1）∵点A坐标A（1，2）反比例函数y＝上的点，点B坐标B（2，5）反比例函数y＝上的点，
∴m＝1×2＝2，n＝2×5＝10， ∵AC∥x轴，BD∥y轴，
∴点C的纵坐标为2，点D的横坐标为2，点P坐标（2，2） ∴点C（5，2），点D（2，1）； （2）∵点P的坐标为（3，2），
∴点A，点C纵坐标为2，点B，点D的横坐标为3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AP＝PC，BP＝PD，
设点A（x，2），则点C（6﹣x，2）， ∴m＝2x，点D（∵BP＝PD，
2
，3），n＝12﹣2x，点B（，3），
∴2﹣＝﹣2，
∴m+n＝12； （3）△APD∽△CPB，
理由如下：设点P的坐标为（a，b），
则点A的坐标为（，b）、点D的坐标为（a，）， 点B的坐标为（a，）、点C的坐标为（，b）， ∴PA＝a﹣＝∴即
，
，PC＝
，
，PD＝b﹣＝
，PB＝
，
，且∠APD＝∠CPB，
∴△APD∽△CPB．
5．如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）求n的值和k的值以及点B的坐标；
（2）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围； （3）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标； （4）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x﹣3， 可得n＝×4﹣3＝3；
把点A（4，3）代入反比例函数y＝，
2
可得3＝， 解得k＝12．
∵一次函数y＝x﹣3与x轴相交于点B， ∴x﹣3＝0， 解得x＝2，
∴点B的坐标为（2，0）， （2）当y＝﹣3时，﹣3＝，
解得x＝﹣4．
故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0．
（2）如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0）， ∴OE＝4，AE＝3，OB＝2， ∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2＝2， 在Rt△ABE中，
AB＝＝＝，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝BC＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF， ∵AE⊥x轴，DF⊥x轴， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， 在△ABE与△DCF中，
2
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3， ∴OF＝OB+BC+CF＝2+∴点D的坐标为（4+（4）存在，
+2＝4+，3）．
，
如图2，作点B（2，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴直线AQ的关系式为y＝x+1， ∴直线AQ与y轴的交点为P（0，1）．
6．定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM?ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线
OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，
2
连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°， ∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°， ∴∠OMP+∠MPO＝150°， ∵∠MPN＝150°， ∴∠MPO+∠OPN＝150°， ∴∠OMP＝∠OPN， ∴△MOP∽△PON， ∴
，
∴OP2＝OM?ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”， ∴OM?ON＝OP2， ∴
，
∵P为∠AOB的平分线上一点， ∴∠MOP＝∠NOP＝α， ∴△MOP∽△PON， ∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α， 即∠MPN＝180°﹣α； 过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝ON?MH＝ON?OMsinα＝OP2?sinα，
2
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