习题62?
1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为
3211 A??0(x?x)dx?[x2?x2]10?. 3261 (2)
解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?11
解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1 e] 所求的面积为
e?dy?e?(e?1)?1 A??1lnydy?ylny|1?1ee
(3)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[32 A???3[(3?x2)?2x]dx?313 1] 所求的面积为
(4)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[
1 3] 所求的面积为
3132 A???1(2x?3?x2)dx?(x2?3x?x3)|3?1?33 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积
221 (1) y?x2与xy28(两部分都要计算)
解
222218 A1?2?0(8?x2?x2)dx?2?08?x2dx??0x2dx?2?08?x2dx?
23 ?16?4cos2tdt?8?2??40334 A2?(22)2??S1?6??3?
1 (2)y?与直线yxx及x2
解 所求的面积为
A?1)dx?3?ln2(x??1x22
(3) ye 解
x yex与直线x1
所求的面积为
11 A??0(ex?e?x)dx?e??2e
(4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解
所求的面积为
A??lnaeydy?eylna?b?a 3 求抛物线y 解 y2 x4
lnblnbx24x3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积
过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y4(x3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2
切线方程为y2x6
3 两切线的交点为(, 3)2 所求的面积为
A??332[4x?3?(?x2?4x?3)]?[?2x?6?(?x2?4x?3]dx?93042?
p2
4 求抛物线y=2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的面积
2 解 2yy2p
pp?1y(2,p)p 在点(,p)处
2 y?? 法线的斜率k1
p法线的方程为y?p??(x?)2 即x?3p?y2
p9求得法线与抛物线的两个交点为(,p)和(p,?3p)22
法线与抛物线所围成的图形的面积为 A???3p(p3py23pp16p2?y?)dy?(y?1y2?1y3)??3p22p226p3
5 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1)
2acos ?
解 所求的面积为
??122 A??2?(2acos?)d??4a?02cos2?d?2?2a2
(2)xacost, y 解 所求的面积为 A?4?0ydx?4?a3
asin3t;
332224?(asint)d(acost)?4a03costsintdt20??
?12a2[??02sin4tdt???02sin6tdt]?38?a2
(3)=2a(2+cos )? 解
所求的面积为 A??2?1220[2a(2?cos?)]d??2a2?2?0(4?4cos??cos2?)d??18?a2
6 求由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱(0t2)与横轴
的图形的面积 解 所求的面积为 A??2a?2a2a0ydx??0a(1?cost)a(1?cost)dt?a2?0(1?cost)2dt
?a2?2a1?cost0(1?2cost?2)dt?3a2? 7 求对数螺线ae(
)及射线
所围成的图形面积
解
所求的面积为
所围成
A?1?(ae?)2d??1a2?e2?d??a2(e2??e?2?)2???2???4
8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积 (1) 解 曲线
3cos 与
1cos
3?交点的极坐标为A(,)233? B(,?)233cos 及1cos? 由对称性
所求的面积为
??1123 A?2[?0(1?cos?)d????2(3cos?)2d?]?5?2234
(2)??2sin?及?2?cos2? 解
曲线??2sin?与?2?cos2?的交点M的极坐标为M(2,?)26?? A?2[1?06(2sin?)2d??1??4cos2?d?]???1?322662 所求的面积为
9 求位于曲线y=ex下方轴上方之间的图形的面积
该曲线过原点的切线的左方以及x 解 设直线ykx与曲线yex相切于A(x0 y0)点
则有
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