则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx， ∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x， 即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x， 化简得：m﹣n+2＝0．
3．（2019?宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上． （1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
解：（1）∵四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF＝∠EDH， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG＝DE； （2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为AD中点， ∴AE＝ED， ∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴AB＝EG， ∵EG＝FH＝2， ∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8．
4．（2019?宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点． 求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∠FAB与∠EBA互余， ∴四边形ABEF是邻余四边形； （2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD， ∵DE＝2BE， ∴BD＝CD＝3BE， ∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点， ∴DM＝ME， ∴∠MDE＝∠MED， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△DBQ∽△ECN， ∴
∵QB＝3， ∴NC＝5， ∵AN＝CN， ∴AC＝2CN＝10， ∴AB＝AC＝10．
5．（2019?宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F． （1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长． （3）设
＝x，tan∠DAE＝y． ，
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°， ∴∠DEB＝∠D， ∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G， ∵△ABC是等边三角形，AC＝6， ∴BG＝
，
BG＝3
，
∴在Rt△ABG中，AG＝∵BF⊥EC， ∴BF∥AG， ∴
，
∵AF：EF＝3：2， ∴BE＝BG＝2， ∴EG＝BE+BG＝3+2＝5， 在Rt△AEG中，AE＝
（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，
；
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