www.ewt360.com 升学助考一网通 (－k，＋x f′－ (x) f(x) 0 4k2e－1 0 ＋ 0 － (－≦， k) k (k，－k) －k ≦) 所以f(x)的单调递减区间是(－≦，k)和(－k，＋≦)；单调递增区间是(k， －k).
(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e1f(x)≤. e
4k2
当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋≦)上的最大值是f(－k)＝.
e14k211
所以?x∈(0，＋≦)，f(x)≤，等价于f(－k)＝≤，解得－≤
eee2k＜0.
11
故对?x∈(0，＋≦)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0).
e218.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，
?y与x的函数关系式为 y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0 k?1k1 ＞，所以不会有?x∈(0，＋≦)，e 第 - 13 - 页 版权所有 升学e网通 www.ewt360.com 升学助考一网通 12 (2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0得x1＝，x2＝－(舍)， 2311 当0 22 1 ?函数y＝5a(1＋4x－x－4x)(0 2 2 3 1 故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋)＝30元时，旅游部门销售 2该纪念品的月平均利润最大. 【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ m 【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，即n＝－1， x所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x mm ＝256(－1)＋(2＋x)x xx256m＝＋mx＋2m－256. x 3256m1－1m2(2)由(1)知，f′(x)＝－2＋mx＝2(x2－512). x22x 32令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64， 第 - 14 - 页 版权所有 升学e网通 www.ewt360.com 升学助考一网通 当0 n＝－1＝－1＝9， x64 故需新建9个桥墩才能使y最小. 19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋≦)上为增函数，可得－m2＋2m＋3>0，再由f(x)为偶函数得m的值. (2)g(x)仅在x＝0处有极值，则意味着g′(x)＝0有唯一一个变号零点是0. 【解析】(1)≧f(x)在区间(0，＋≦)上是单调增函数， ?－m2＋2m＋3>0即m2－2m－3<0， ?－1 而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数， ?f(x)＝x4. 14923 (2)g(x)＝x＋ax＋x－b， 42g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)， 显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根. 为使g(x)仅在x＝0处有极值，则有x2＋3ax＋9≥0恒成立， 即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]. 这时，g(0)＝－b是唯一极值，?a∈[－2,2]. 第 - 15 - 页 版权所有 升学e网通 www.ewt360.com 升学助考一网通 13 20.【解析】(1)≧g(x)＝(x－1)2＋，x∈[0,3]， 223 当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝； 27 当x＝3时，g(x)max＝g(3)＝， 237 故g(x)在[0,3]上的值域为[，]. 22 1 (2)f′(x)＝lnx＋1，当x∈(0，)，f′(x)<0，f(x)单调递减， e1 当x∈(，＋≦)，f′(x)>0，f(x)单调递增. e1 ①0 e 111②0 e 11③≤t 所以f(x)min ?? ＝?1??tlnt，t≥e 11－，0 . x2 (3)g′(x)＋1＝x，所以问题等价于证明xlnx>x－(x∈(0，＋≦))， ee1 由(2)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋≦))的最小值是－，当且仅当x e 第 - 16 - 页 版权所有 升学e网通 www.ewt360.com 升学助考一网通 1 ＝时取到； e x2 设m(x)＝x－(x∈(0，＋≦))， ee1－x 则m′(x)＝x， e 1 易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0， eg′(x)＋12 ＋≦)，都有xlnx>－成立. exe 第 - 17 - 页 版权所有 升学e网通
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