【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，
那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．
根据燕尾定理，S?ABM:S?ACM?BF:CF?2:1，而S?ACM?2S?ADM，所以S?ABM?2S?ACM?4S?ADM，那
4么BM?4DM，即BM?BD．
5BMBF4214147那么S?BMF?． ??S?BCD????，S四边形CDMF???BDBC53215215301111另解：得出S?ABM?2S?ACM?4S?ADM后，可得S?ADM?S?ABD???，
55210117则S四边形CDMF?S?ACF?S?ADM???．
31030
【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，
请写出这9部分的面积各是多少?
AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，
CQ，CM，CN．
根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则
1S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?
5211213121同理可得，S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG???．
72375353721311239同理，S△BPM?，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????
3357042321426321642
【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四
边形JKIH的面积是多少？
DECCFGKAIHB
CDEAGKIHB
JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ．
根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2，
所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK?类似分析可得S?AGI?1111?，S?AGK?S?ACK?．
1?2?473212． 1513
又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，可得S?ACJ?那么，SCGKJ?1． 41117??． 42184根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为
SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE17，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为84172161619，所以四边形JKIH的面积为1???2????．
84153707070
BD:DE:EC?1:2:1，CF:FG:GA?1:2:1，AH:HI:IB?1:2:1，【例 14】 如右图，面积为1的△ABC中，
求阴影部分面积．
AHGHNMFPECAGIBDEFCBID
【解析】 设IG交HF于M，IG交HD于N，DF交EI于P．连接AM， IF ．
9 ∵AI:AB?3:4，AF:AC?3:4，?S△AIF?S△ABC
16 ∵S△FIM:S△AMF?IH:HA?2，S△FIM:S△AIM?FG:GA?2，
193 ∴S△AIM?S△AIF?S△ABC ∵AH:AI?1:3 ∴S△AHM?S△ABC，
464643 ∵AH:AB?1:4 AF:AC?3:4 ∴S△AHF?S△ABC ．
163733同理 S△CFD?S△BDH?S△ABC ∴S△FDH?S△ABC HM:HF?:?1:4，
16166416 ∵ AI:AB?3:4,AF:AC?3:4， ∴IF∥BC ，
又∵IF:BC?3:4,DE:BC?1:2，
∴DE:IF?2:3,DP:PF?2:3，
同理 HN:ND?2:3，∵HM:HF?1:4，∴HN:HD?2:5，
177 ∴S△HMN?S△HDF?． S△ABC?101601607 同理 6个小阴影三角形的面积均为．
160721 阴影部分面积??6?．
16080
【例 15】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴
影部分面积.
ADEIHEQBFGCBFGCDPAIMHN
14
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，
S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),
1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,
431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,
121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的
6⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,
11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC
3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2
1所以S△ABP?S△ABC
51?11?11S△ABC 所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?52121105??11同理另外两个五边形面积是△ABC面积的
10511113所以S阴影?1??3? ?3?610570
【例 16】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中
心六边形面积.
ADEIHEQBFGCBMFSGCDAIPHNR【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR?BG:CG.?2:1,
S△ABR:S△CBR?AI:CI?1:2
222所以S△ABR?S△ABC,同理S△ACS?S△ABC,S△CQB?S△ABC
7772221所以S△RQS?1????
77771同理S△MNP?
711131根据容斥原理，和上题结果S六边形????
777010
【例 17】 （2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形A1，A2，A3，A4，A5，A6的面积是2009B1，B2，B3，B4，B5，B6分别是正六边形各边的中点；平方厘米，那么图中阴影六边形的面积是 平15
方厘米．
A1B6A6B5B1A2B2A3B3B6A6B5A1B1DGEA2B2A3B3
【解析】 （方法一）因为空白的面积等于△A2A3G面积的6倍，所以关键求△A2A3G的面积，根据燕尾定理可
3311得S△A2A3G?S△A1A2A3???S正六边形，但在△A1A2A3用燕尾定理时，需要知道A1D,A3D的长度比，
7732连接A1A3,A6A3,A1G,过B6作A1A2的平行线，交A1A3于E，根据沙漏模型得A1D?DE,再根据金字塔
模型得A1E?A3E,因此A1D:A3D?1:3,在△A1A2A3中，设S△A1A2G?1份，则S△A2A3G?3份,S△A3A1G?3A5B4A4A5B4A433111份，所以S△A2A3G?S△A1A2A3???S正六边形?S正六边形，
77321414因此S阴影?（1??6）S正六边形??2009?1148（平方厘米）
147（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正
8六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为?2009?1148（平
14方厘米）
ADA1B6B1GA2EDB2A3EGBFCA6B5A5B4A4B3
【例 18】 已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲:S乙?1:8，a与b是两个正方形的边长，求a:b??
Aa甲DOCGDMBAa甲OBCG乙EHbFENH乙bF
【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目
条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO、AF，
根据燕尾定理：S△AOE:S△AOF?a:b，S△AOF:S△EOF?a:b
所以 S△AOE:S△EOF?a2:b2，作OM⊥AE、ON⊥EF，
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∵AE?EF
∴OM:ON?a2:b2 ∴S甲:S乙?a3:b3?1:8 ∴a:b?1:2
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