2020届新高考数学二轮微专题突破专题03 运用建系研究向量问题(解析版)

专题03 运用建系研究向量问题

一、题型选讲

题型一 向量中与四边形有关的建系

四边形中最常见的建系图形是矩形、正方形以及菱形等含有直角的特殊图形，选择相互垂直的一组边分别作为x轴，y轴。对于普通的四边形要合理的建议，主要目的就是为了更好地表示点坐标。

BC?2，点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB?AF?例1、如图,在矩形ABCD中,AB?2，则AE?BF的值是____________． 【答案】2

2,

【解析】 建立如图的直角坐标系，则A(0,0)、B(2,0)、E(2,1)，设F(x,2)，

yDFCEABx

因为AB?AF?2，所以AB?AF?(2,0)(x,2)?2，解得x?1，从而

AE?BF=(2,1)(1?2,2)?2．

例2、(2019通州、海门、启东期末） 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝45°，→→→→

E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足EP＝2PE，则AP·AB＝________．

9 / 9

【答案】 16

→

【解析】解析(坐标法)：以A点为坐标原点，以AB的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则根据题设91→→

条件可得A(0，0)，B(4，0)，D(1，1)，C(5，1)，E(，)，F(3，1)，又因为FP＝2PE，所以设点P(x，y)，

22x＝2??x－3＝9－2x??91→?2?－x，－y?＝(9－2x，1－2y)，故?从而(x－3，y－1)＝2?，解得?，故AP＝?2，3?，从而22??2?y－1＝1－2y???y＝3→→

AP·AB＝2×8＝16.

解后反思 向量的运算问题，通常有两种基本方式，一是基底法、二是坐标法．一般地，基底法更具有一般性，基底法的难点在于将所研究的向量表示为基底的形式，坐标法一般用于一些特殊的图形，即便于建立坐标系的问题．本题中的两种解法的难易程度相当． 题型二 向量中与三角形有关的建系

若三角形为直角三角形则以两个直角边为x轴，y轴。若为等腰三角形或者等边三角形则以底边和底边上的高分别为为x轴，y轴。若为一般的三角形则要合理的建系，目的是为了更好地表示点坐标。 例3、(2019苏锡常镇调研） 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD→→

的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则BQ·CP的最大值为________． 9

【答案】 －

4

【解析】解法1(坐标法) 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，111

1，?，E?，?， B(2，0)，C(0，1)，D??2??24?

xy11

设P(p，0)，Q(0，q)，则p>0，q>0，且直线PQ：＋＝1，因为点E在直线PQ上，所以＋＝1，

pq2p4q11?qp55→→

＋＝－－?＋?≤－－2BQ·CP＝(－2，q)·(p，－1)＝－2p－q＝(－2p－q)??2p4q?4?2p2q?4qp39→→

且仅当＝，即p＝q＝时取“＝”，所以BQ·CP的最大值是－.

2p2q44

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qp9

×＝－，当2p2q4

例4、已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，→→

使得DE＝3EF，则AF·BC的值为________． 1

【答案】.

3

13

【解析】解法： 建立如图所示平面直角坐标系，A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，D?－，?，E(0，0)，

?22?1313173?→→→

设点F(x0，y0)由DE＝3EF得DE＝3EF，故?，－?＝3(x0，y0)，故x0＝，y0＝－，所以AF＝?，－，

662?6??2?61173?→→

故AF·BC＝?，－·(2，0)＝.

36??6

例5、(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，→3→→→→

满足CP＝PB＋2PA，则CP·AB的值为________．

2【答案】－1

【解析】解法(坐标法) 以A为原点， AC为x轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，3)，C(3，333→3→→

0)，设P(x，y)．由CP＝PB＋2PA得(x－3，y)＝(1－x，3－y)＋2(－x，－y)，得x＝1，y＝，所以P?1，?，

2233??3→→

CP·AB＝?－2，?·(1，3)＝－2＋1＝－1.

3??题型三、向量中与圆或半圆有关的建系

圆或者半圆一般以相互的直径分布为x轴，y轴。

例6、(2018苏锡常镇调研）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP?OQ的取值范围为 【答案】[2?1,1]

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【解析】 思路分析：首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方法：坐标法和基底法进行求解. 解法1 （坐标法） 以OA为x轴，OB为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，则直线

???AB:x?y?1?0，由于点P在单位圆在第一象限的圆弧上，可设P(cos?,sin?)，???0,?，设点P关

?2??x1?cos?y1?sin???1?0??22?x1?1?sin??y1?sin?于直线AB的对称点Q(x1,y1)，则?，可得，即??(?1)??1y?1?cos??1?x1?cos??Q(1?sin?,1?cos?)

所以OP?OQ?cos?(1?sin?)?sin?(1?cos?)?sin??cos??2sin?cos? 令t?sin??cos??2sin(??)，则t?1,2且2sin?cos??t2?1

4???15OP?OQ?f(t)??t2?t?1??(t?)2?故24，所以OP?OQ的取值范围为[2?1,1]．

题型四 向量中与多边形中问题有关的建系

对于多边体或者不规则的几何体的建系，要在几何体中寻找相互垂直的一对边为x轴，y轴。 例7、(2018南京、盐城一模）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为→→“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则AB·CD的最大值为________．

【答案】 24

→→→→→

【解析】 思路分析 本题所给AB是确定的，所以根据数量积定义AB·CD的最大值即CD在AB上的投影最大，可以选取几个特殊位置逐一检验，也可以用图形作出投影的最大值． 解法1 如图1建立平面直角坐标系，A?三个点可以选择，分别是D1?－

39?

，B(0，0)，那么很容易得到C(0，5)，此时D的位置可以有

?2，2?

?

31?→→?33，1?，分别求出AB·CD的值为21，24，，，D2(－3，0)，D3－22??22?→→

22.5，所以AB·CD的最大值为24.

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