二、达标训练
1、(2019南京、盐城二模） 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且→→→→→
满足(PB＋PC)·AD＝42.若AD＝2，则PB·PC的值为________． 【答案】 2
→
【解析】解法 建立如图所示的平面直角坐标系，设B(b，0)，C(c，0)，P(0，p)，A(0，2)，则PB＝(b，→→→→→
－p)，PC＝(c，－p)，AD＝(0，－2)，由(PB＋PC)·AD＝(b＋c，－2p)·(0.－2)＝22p＝42，解得p＝2
→→
因为AB⊥AC，所以AB·AC＝(b，－2)·(c，－2)＝bc＋2＝0，解得bc＝－2， →→
所以PB·PC＝(b，－p)·(c，－p)＝bc＋p2＝－2＋22＝2.
2、(2019宿迁期末） 如图所示，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于︵→→
点E，若点P是圆弧EB(含端点B，E)上的一点，则PA·PB的取值范围是________．
【答案】 [8－82，0]
【解析】解法(坐标法) 以C为原点，建立如图所示平面直角坐标系．
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3π→
A(－4，－2)，B(0，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上．设点P(2cosθ，2sinθ)，θ∈?π，?，所以PA＝
2??
π→→→
(－4－2cosθ，－2－2sinθ)，PB＝(－2cosθ，－2－2sinθ))，PA·PB＝8cosθ＋8sinθ＋8＝82sin?θ＋?4??π5π7π3π5ππ5π7π→→＋8，θ＋∈?，π?，当θ＋＝，即θ＝时，PA·PB取到最小值8－82，当θ＋＝或，4?44244444?
3π→→→→
即θ＝π或时，PA·PB取到最大值0，所以PA·PB的取值范围是[8－82，0]．
2
17→→→→
3、(2018南京学情调研）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，BM＝λBC.若AM·BC＝－，
3则实数λ的值为________． 1
【答案】
3
【解析】解法(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，3)，设点M的坐标为(x，y)，则(x－3，y)＝λ(－1－3，3)，
?x＝3－4λ，→→171即?故AM·BC＝(3－4λ，3λ)·(－4，3)＝19λ－12＝－，解得λ＝.
33?y＝3λ，
4、(2018南通、泰州一调）如图，已知矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在边BC，CD上，且→→
∠PAQ＝45°，则AP·AQ的最小值为________．
【答案】42－4
【解析】解法(坐标法) 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)．
π1→→
设∠PAB＝θ，则AP＝(2，2tanθ)，AQ＝?tan?－θ?，1?，0≤tanθ≤.
2??4??
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2（1－tanθ）ππ4→→
因为AP·AQ＝(2，2tanθ)·?tan?－θ?，1?＝2tan?－θ?＋2tanθ＝＋2tanθ＝
??4???4?1＋tanθ1＋tanθ4→→
＋2tanθ－2＝＋2(tanθ＋1)－4≥42－4，当且仅当tanθ＝2－1时，“＝”成立，所以AP·AQ
1＋tanθ的最小值为42－4.
→→→→
5、(2019南通、泰州、扬州一调） 在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，AB·AC＝3，AC·AD＝→→
2，则|AC＋2AD|的最小值为________． 【答案】 25
【解析】(坐标法)以A点为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，
1→→→→
由DA＝DB，可知D在线段AB的中垂线上，设D（2，t?，设C(m，n)，由AB·AC＝3，AC·AD＝?1?11→→2，可以得到?m＝32m＋nt＝2，所以nt＝，则|AC＋2AD|＝|(m，n)＋2(，t)|＝|(4，n＋2t)|＝16＋（n＋2t）2，
22?→→
而(n＋2t)2＝n2＋4t2＋4nt≥4nt＋4mt＝8nt＝4，等号当且仅当n＝2t取得，所以|AC＋2AD|的最小值为16＋4＝25，故答案为25.
2π→→
6、(2018苏锡常镇调研） 在△ABC中，P是边AB的中点，已知|CP|＝3， |CA|＝4，∠ACB＝，则3→→
CP·CA＝________． 【答案】 6
【解析】解法(坐标法) 如图建立平面直角坐标系．设C(0，0)，B(x，0)，A(－2，23)，则P?→→→
由|CP|＝3，得x＝2.所以CP·CA＝(0，3)·(－2，23)＝6.
x－2
，3?.?2?
7、(2018苏州期末） 如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径︵→→
的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一动点，则PB·PC的取值范围是________．
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【答案】[－11，－9]
解法(坐标法) 以A为原点，垂直于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B(2，－23)，C(2，23)，设P(cosθ，sinθ)，其中θ∈?－，?.
?33?
→→
PB·PC＝(2－cosθ，－sinθ－23)·(2－cosθ，23－sinθ)＝(cosθ－2)2＋sin2θ－12＝－7－4cosθ. 1?→→
，1，所以PB·PC∈[－11，－9]． 因为cosθ∈??2?
→→解后反思 运用等式“PB·PC＝PM2－MC2”，可把“同起点的两向量的数量积”转化为“两条线段长度的平方差”．这是一个常用的等式．
8、(2017年徐州等六市联考）如图，已知AC?2，B为AC的中点，分别以AB, AC为直径在AC的同侧作半圆，M, N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，，且BM?BN，则AM?CN的最大值C）为 ．
ππ
【答案】
14
【解法1】（坐标法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系。设?NBC??MAB??，
?sin?cos?),N(cos?，sin?)，A(?1，，0)C(1，0)， ??(0，)，则M(?sin2?，2AM?CN=（1?sin2?，sin?cos?）（?cos??1，sin?）=（1?sin2?）(cos??1)+sin2?cos?=cos??1+sin2?
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