概率论与数理统计第一章到第七章答案

?12e?3x?4y,x?0,y?02．随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)??，分别求下列概率

其他?0,密度函数：（1）Z?X?Y； （2）M?max{X,Y}； （3）N?min{X,Y}。 解：（1）FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ?x?y?z??f(x,y)dxdy??dx?0zz?x012e?3x?4ydy

?3?z0e?3x(1?e?4(z?x))dx

z ?(?e?3x?3ex?4z)|0 ?1?4e 即 FZ(z)???3z?3e?4z

0??3z?4z?1?4e?3ez?0 z?00??3z?4z?12e?12ez?0 z?0 所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)?? 或 当z?0时，fZ(z)?0 当z?0时， fZ(z)? ??0????f(x,?z?3x?4(z?x)x) dxdx

?12ezz ?12e?4z?ex|0

?12e?4z?(ez?1)

所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)??

（2）由于fX(x)? fY(y)?0??3z?4z?12e?12e??z?0 z?0?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydy?3e?3x

0??0?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydx?4e?4y

则X与Y相互独立。 当z?0时，FM(z)?0

当z?0时，FM(z)?P(M?z)?P(X?z,Y?z)?P(X?z)P(Y?z) ?FX(z)FY(z)?(1?e?3z)(1?e?4z) 所

以

0?fM(z)???3z?4z?4z?3z?3z?4z?7z?3e(1?e)?4e(1?3)?3e?4e?7e

（3） 当z?0时，FN(z)?0 当z?0时，

z?0 z?0FN(z)?P(N?z)?1?P(N?z)?1?P(X?z,Y?z)?1?P(X?z)P(Y?z)

?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?1?e?3ze?4z?1?e?7z

所以 fN(z)??

3．设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U(0,1)。试求 （1）Z?X?Y的分布函数与概率密度函数； （2）U?2X?Y的概率密度函数。 解：（1）fZ(z)??0?7z?7ez?0 z?0??????z?x? 1)fX(x)fY(z?x)dx (0?x?1,0 当z?0或z?2时，fZ(z)?0 当0?z?1时，fZ(z)??dx?z

0z 当1?z?2时，fZ(z)??1z?1dx?2?z

0?z?1?z? 所以，fZ(z)??2?z1?z?2

?0其他?0,z?0??z2,0?z?1?FZ(z)??2z2 分布函数

?2z?2?11?z?2?1,z?2? （2）当u??1时，FU(u)?0；当u?2时，FU(u)?1

当?1?u?0时，FU(u)??1udy?y?u20dx??1uy?u1dy?(1?2u?u2)； 24 当0?u?1时，FU(u)??10dy?1y?u20dx?2x?u1(1?2u)； 4 当1?u?2时，FU(u)?1??dx?u20u2dy?u?

40u??1??1?(1?2u?3u2)?1?u?0?4??1(1?2u)0?u?1 即 U?2X?Y的分布函数为： FU(u)??4??u2u?1?u?2?4?1u?2?? 所以 U?2X?Y的概率密度函数为：

?1?u?2?1??fU(u)?FU?(u)??2?u?1??2??0

?1?u?00?u?11?u?2其它

4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)???10?x?1，

其它?0?Ae?yfY(y)???0y?0y?0，求：（1）常数A， （2）随机变量Z?X?Y的概率密度函数。

?? 解：（1） 由于1?FY(??)??0??Ae?ydy??Ae?y|0?A，所以A = 1

（2） 随机变量Z?X?Y的概率密度函数

fZ?z???????fX?x?fY?z?x?dx （0?x?1,z?x?0）

当Z?0时，fZ?z??0 当0?z?1时，fZ?z???1?e0z?(z?x)dx?e?z?z0exdx?1?e?z

当z?1时， fZ?z??

?e01?(z?x)dx?e?z?10exdx?e?z?1?e?z

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题： 1

．

设

随

机

变

量

X

，

且

E(X)存在，则

E(X)是

[ B ]

（A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数

x?1?9?ef(x)??9?0? 2．设X的概率密度为

x?0x?0，则

1E(?X)?

9[ C ]

xx1??1??99 （A）?x?edx （B）??x?edx （C）?1 （D）1

9??9?? 3．设?[ D ]

是随机变量，E(?)存在，若????23，则E(?)?

（A）E(?) （B）二、填空题：

E(?)E(?)2? （C）E(?)?2 （D）

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