§8.2 空间几何体的表面积与体积
最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 考情考向分析 主要考查涉及空间几何体的表面积与体积．常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.
1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 ，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 几何体 柱体 (棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 球
表面积 体积 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 1V＝Sh 31V＝(S上＋S下＋S上S下)h 34V＝πR3 3S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝ 概念方法微思考
1．如何求旋转体的表面积？
2．如何求不规则几何体的体积？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝
3
a.( ) 2
(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( ) 题组二 教材改编
2．[P27练习T1]已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A．1 cm C．3 cm
B．2 cm 3D. cm 2
3．[P28A组T3]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
题组三 易错自纠
4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) 32
A．12π B.π C．8π D．4π
3
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
题型一 求空间几何体的表面积
1．(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122π C．82π
B．12π D．10π
2．(2019·新乡模拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为( )
A．42＋23＋2 C．22＋43＋2
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例1 (2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
B．43＋4 D．82＋4
A．90π C．42π
命题点2 求简单几何体的体积
例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
B．63π D．36π
A．3 C．1
3B. 2D.3 2
跟踪训练1 (1)(2018·兰州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )
A．5 000 立方尺 C．6 000 立方尺
B．5 500 立方尺 D．6 500 立方尺
(2)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥 D－A1BC的体积是________．
题型三 与球有关的切、接问题
例3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( ) 317A.
213C. 2
B．210 D．310 引申探究
1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
跟踪训练2 (1)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( ) A．123 C．243
B．183 D．543
(2)(2019·长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为( )
A．34π C．41π
B．25π D．50π
1．(2019·湖南省长沙市长郡中学模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
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