2020高考数学一轮复习第六章数列6-3等比数列及其前n项和学案理

教学资料范本 2020高考数学一轮复习第六章数列6-3等比数列及其前n项和学案理 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 15 【精品资料欢迎惠存】 【20xx最新】精选高考数学一轮复习第六章数列6-3等比数列及其前n项和学案理 考纲展示? 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 考点1 等比数列的判定与证明 1.等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等 比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么________叫做a与b的等比中 项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?________. 答案：(1)2 同一个常数 公比 (2)G G2＝ab 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝________.? ，q＝1， (2)前n项和公式：Sn＝?a11－qna1－anq＝，q≠1.1－q?1－q 2 / 15 【精品资料欢迎惠存】 答案：(1)a1qn－1 (2)na1[典题1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝ a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． (1)[证明] ∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴＝，∴{an－1}是等比数列． 又a1＋a1＝1，∴a1＝，又cn＝an－1， ∴c1＝a1－1＝－. ∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列． (2)[解] 由(1)可知， cn＝·n－1＝－n， ∴an＝cn＋1＝1－n. ∴当n≥2时， bn＝an－an－1＝1－n－?1－?2?n－1? ＝n－1－n＝n. 又b1＝a1＝，代入上式也符合， ∴bn＝n. [点石成金] 等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列． 3 / 15 【精品资料欢迎惠存】???1????? (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋ 2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是 不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为 常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证 明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项 不成等比数列即可. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得 a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知，bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故是首项为，公差为的等差数列． ∴＝＋(n－1)·＝， 4 / 15 【精品资料欢迎惠存】 化简，得an＝(3n－1)·2n－2.考点2 等比数列的基本运算 (1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则 该数列的通项公式an＝________. 答案：3×2n－3 解析：设等比数列{an}的公比为q，则 ②÷①，得q7＝128，即q＝2， 把q＝2代入①，得a1＝， ∴数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1＝×2n－1＝3×2n－3.(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则 ＝________. 答案：34 等比数列的两个非零量：项；公比． (1)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于________． 答案：－24解析：由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝ x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，则该等比数列的首项为x＝－3，公比q＝＝2，所以第4项为(6x＋6)×q＝ －24.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝ __________. 答案：－2 解析：∵S3＋3S2＝0， 5 / 15 【精品资料欢迎惠存】