第二节 空间图形的基本关系与公理
[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
1．空间图形的公理
(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 相交直线??共面直线??
?平行直线?
??异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角
①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．
π??
②范围：?0，2?.
??
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 4．定理(等角定理)
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a?/α，则α内的所有直线与a异面．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)如图7-2-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
图7-2-1
A．30° C．60°
B．45° D．90°
C [连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF， 故∠D1B1C为所求的角，
又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.] 3．在下列命题中，不是公理的是( ) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线
A [A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是公理．] 4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 A [由题意知a
α，b
β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β
有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．]
5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________． b与α相交或b
α或b∥α
空间图形的公理 及其应用 如图7-2-2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的
中点．求证：
图7-2-2
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点. [规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面． (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． 2．证明点共线问题的常用方法： (1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上． (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 12分 平面ABCD， 8分 5分 2分
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