第三章 数系的扩充与复数的引入(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )
αα
A．2cos B．－2cos 22αα
C．2sin D．－2sin 22
2
2．已知M＝{1,2，m－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的 值为( )
A．－1或6 B．－1或4 C．－1 D．4
35?
3．若θ∈?则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( ) ?4π，4π?，
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．一元二次方程x2－(5＋i)x＋4－i＝0有一个实根x0，则( ) A．x0＝4 B．x0＝1 C．x0＝4或x0＝1 D．x0不存在
→→→
5．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB| 等于( )
A.2 B．2 C.10 D．4
3＋i
6．已知复数z＝ ，z是z的共轭复数，则z·z等于( )
?1－3i?2
11
A. B. C．1 D．2 42
7．在复平面上复数－1＋i、0、3＋2i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD 的对角线BD的长为( ) A．5 B.13 C.15 D.17
8．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z为( ) A．－5＋2i B．－5－2i C.5＋2i D.5－2i
9．1＋2i＋3i2＋…＋2 005i2 004的值是( ) A．－1 000－1 000i B．－1 002－1 002i C．1 003－1 002i D．1 005－1 000i
1－z
10．设复数z满足＝i，则|1＋z|等于( )
1＋z
A．0 B．1 C.2 D．2
11．若z1＝(2x－1)＋yi与z2＝3x＋i (x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
－
12．f(n)＝in＋in (n∈N＋)的值域中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．无穷多个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号
答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．z1是复数，z2＝z1－iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2 的虚部为______．
14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是________．
2i
15．若复数z＝，则|z＋3i|＝________.
1－i
16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、
→→→
B、C.若OC＝2OA＋OB，则a＝________，b＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
6m
17．(10分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是
1－i
(1)虚数，(2)纯虚数．
18．(12分)设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平 分线上，|2z－m|＝52(m∈R)，求z和m的值．
?1＋i?2＋3?1－i?a
19.(12分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
z2＋i
20．(12分)已知复数z的模为2，求复数1＋3i＋z的模的最大值、最小值．
1
21.(12分)已知z是虚数，证明：z＋为实数的充要条件是|z|＝1.
z
?1＋i?3?a＋bi?
22．(12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对应
1－i
的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．
答案
1．B [|z|＝?1＋cos α?2＋sin2α＝2＋2cos α
ααcos ? ＝4cos2＝2?2??2
παα
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos <0，
222ααcos ?＝－2cos .] ∴2?2??22．C [由M∩N＝{3}，
知m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，
2??m－3m－1＝3∴?2，解得m＝－1.] ?m－5m－6＝0?
πθ＋?， 3．B [cos θ＋sin θ＝2sin??4?πθ－?. sin θ－cos θ＝2sin??4?
35?3πππ
π，π，所以θ＋∈?π，π?，θ－∈?，π?，因此，cos θ＋sin θ<0， 因为θ∈?2??44?4?4?2?
sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．] 4．D [由已知可得x20－(5＋i)x0＋4－i＝0， ?x2?0－5x0＋4＝0∴?，该方程组无解．] ?－x－1＝0?0
→→→
5．B [由题意AB＝OB－OA， →
∴AB对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i， →
∴|AB|＝2.]
3＋i3＋i
6．A [∵z＝， 2＝?1－3i?－2－23i
|3＋i|21
∴|z|＝＝＝. |－2－23i|42
1
∴z·z＝|z|2＝.]
4→→→→→
7．B [BA对应的复数为－1＋i，BC对应的复数为3＋2i，∵BD＝BA＋BC， →
∴BD对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i. ∴BD的长为13.]
8．A [设z＝x＋yi (x，y∈R)，则x＝－5， 由|z|＝3，得(－5)2＋y2＝9， 即y2＝4，∴y＝±2，
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2. ∴z＝－5＋2i.]
9．C [1＋2i＋3i2＋4i3
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