＝1＋2i－3－4i＝－2－2i.
周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i2 004 ＝－1 002－1 002i＋2 005＝1 003－1 002i.]
1－z1－i
10．C [由＝i，得z＝＝－i，
1＋z1＋i
∴|1＋z|＝|1－i|＝2.]
??2x－1＝3x，
11．C [由z1，z2互为共轭复数，得?
?y＝－1，?
??x＝－1，
解得?所以z1＝(2x－1)＋yi＝－3－i.由复数的几何意义知z1对应的点在第三象
?y＝－1，?
限．]
12．B [根据i的周期性，
－
当n＝4k (k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋i4k＝1＋1＝2，
＋－＋
当n＝4k＋1 (k∈N＋)时，f(n)＝i4k1＋i(4k1)
1
＝i＋＝0，
i
＋－＋
当n＝4k＋2 (k∈N＋)时，f(n)＝i4k2＋i(4k2)＝－2，
＋－＋
当n＝4k＋3 (k∈N＋)时，f(n)＝i4k3＋i(4k3)
1
＝－i－＝0.
i
故值域中元素个数为3.] 13．1
解析 设z1＝a＋bi， 则z2＝a＋bi－i(a－bi)
＝a－b＋(b－a)i，又a－b＝－1， ∴b－a＝1. 11
14.＋3i 5
解析 设z＝a＋bi (a、b∈R)，根据题意得 a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i，
11??a＝5?b＝3
所以有?，解之得?， 22?a＋a＋b＝5??b＝3
11
∴z＝＋3i.
515.5
2i2i?1＋i?
解析 ∵z＝＝＝－1＋i.
21－i16．－3 －10
→→→
解析 ∵OC＝2OA＋OB ∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi) ???1＝4＋a?a＝－3即? ∴?. ?－4＝6＋b?b＝－10??
17．解 由于m∈R，复数z可表示为 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i) ＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i， (1)当m2－3m＋2≠0，
∴z＝－1－i，∴|z＋3i|＝|－1＋2i|＝5.
即m≠2且m≠1时，z为虚数．
2??2m－3m－2＝0(2)当?2，
?m－3m＋2≠0?
1
即m＝－时，z为纯虚数．
2
18．解 设z＝a＋bi (a，b∈R)． 因为|z|＝5，所以a2＋b2＝25. 因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi) ＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i，
又(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上， 所以3a－4b＋4a＋3b＝0，得b＝7a，
272?2＋72i?， 所以a＝±，b＝±，即z＝±222??2
所以2z＝±(1＋7i)．
当2z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝52， 即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，或m＝2. 当2z＝－(1＋7i)时，
同理可得m＝0，或m＝－2.
?1＋i?2＋3?1－i?
19．解 z＝ 2＋i
2i＋3－3i3－i＝＝＝1－i.
2＋i2＋i
∵a为纯虚数，∴设a＝mi (m≠0)，
mi－mami
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
z21－imm?
－2i<0， ＝－＋??2?2
?－2<0，
∴?m
?2－2＝0，
m
∴m＝4.∴a＝4i.
20．解 利用公式||z1|－|z2|| ≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
∵|z|＝2，∴||z|－|1＋3i|| ≤|z＋1＋3i|≤|z|＋|1＋3i|. ∴0≤|z＋1＋3i|≤2＋2，
∴|z＋1＋3i|min＝0，|z＋1＋3i|max＝4. 21．证明 设z＝x＋yi (x，y∈R且y≠0)，
x－yi11
则z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋22
zx＋yix＋y
yx
＝x＋22＋?y－x2＋y2?i.
?x＋y?
1
当|z|＝1，即x2＋y2＝1时，z＋＝2x∈R.
z
1y
当z＋∈R，即y－22＝0时，又y≠0，
zx＋y∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.
1
∴z＋为实数的充要条件是|z|＝1.
z
?1＋i?2·?1＋i?
22．解 z＝(a＋bi)
1－i
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
∵复数0、z、z对应的点构成正三角形， ∴|z－z|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.② 又∵z对应的点在第一象限，
∴－2a>0，－2b>0，∴a ?a＝－3， 由①②③得? b＝－1.? 故所求值为a＝－3，b＝－1.
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